【精品】数学分析教案2.doc

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1、SF01（数）Ch2数列极限计划课时：12时P9—202001.08・30.Ch2数列极限（12时）§1数列极限的定义（4时）%1.数列：数列定义一一整标函数.数列给出方法：通项，递推公式.数列的几何意义.特殊数列：常驻列，有界列，单调列和往后单调列.二数列极限：以色=1+匕丄为例.n定义（linw“二d的—N”定义）"Tao定义（数列收敛的“£-N”定义）£的止值性，任意性与确定性，£以小为贵；N的存在性与非唯一性，对N只要求存在，不在乎大小.lima“=a的几何意义.思路与方法.三.用定义验证数列极限:例1lim—=n—»cofq0.例2limq“=n

2、—>oo=0,例31.2/7lim—-〃T83n-2-n+3-42n+l例42lim":"T84"=0.q<1.23证4J(l+3)Jl+m3+空二23?+也二1凹二玄3?+…+3“〉2!>/?(Z7~l)(Z7~2)>3,t>3.3!注意到对任何止整数k,n>2k时有ii_k>丄,就有2八n26n26nn>46n-424110v—<=v——•—<—.4"27班农一1）0-2）27⑺一1）（〃一2）2727nn于是，对Vs>（Xmax{4例5lim=1,a>.n—>x证法一令'<[a-=an,有an>0.用Bernoulli不等式，有——Cl_ICl

3、a=（1+久）">1+nan=l+n（a91-1）,或0vd"—15<—.…nn证法二（用均值不等式）a+n-na<例6limVh=I.Q2吋，0<诉-1=&乔咖严_]<2亦+—2n例7设lima”=a.“Toe证明limAn=a.“TOOEx[1]P342.!1!收敛的否定:定义（lima”Hd的“£_N"定义）.n—>cc定义（数列｛%｝发散的“£_N”定义）.例8验证五.数列极限的记註：1.满足条件“%,33/V,W>0,72>N=>xn-a<£"的数列:（往后常驻）.2.改变或去掉数列的有限项，不影响数列的收敛性和极限.重排不改变数列敛散性

4、：3.数列极限的等价定义:D

5、:/£>0,3N,/n>N,aH-a<呛，伙>0)D2:对VOvgvc,…D3:任有理数£>0,…・D4:对任正整数加,mN,VqN,二>aH-a<-.m无穷小数列:定义.Th（数列极限与无穷小数列的关系）.Ex[1JP353,5,7,8(2).§2收敛数列的性质一.收敛数列的性质:1.极限唯一性：（证）2.收敛数列有界性——收敛的必要条件：（证）3.收敛数列保号性:Th1设lima”=a,limb”=b.若a>b,则PNN,nan>bn.(证)系1设liman=a,limbn=b.若BN,Vn>N时有an

6、a00；并注意bn=b和b=0的情况）.系2设liman=a>0（或<0）・则对VON.=>an>r（或7V,=>①>r.系3若liman=a^0.则对VO（注意反之不确）.lima”=0,o0.设数列｛〜｝和｛仇｝收敛，则"TS"TOClimmaxfan,bn}=max{lima”，limb」“TOC-…“limmin{an,bn}=min

7、{hman.lim/?n}.卄一>8（证明用到以下6所述极限的运算性质）.6.四则运算性质：Th4（四则运算性质，其中包括常数因子可提到极限号外）.（证）7.子列收敛性：子列概念.Th5（数列收敛充要条件）｛a”｝收敛O｛%｝的任何子列收敛于同一极限.Th6（数列收敛充要条件）［an］收敛O子歹U｛eq”-】｝和｛知｝收敛于同一极限.Th7（数列收敛充要条件）｛a“｝收敛O子列｛%_］｝、｛如｝和｛皎｝都收敛•（简证）%1.利用数列极限性质求极限:<1).两个基本极限：lim—=0,“TOCYl"TOC1.利用四则运算性质求极限：z..3n+1n+10例1

8、lim•“Teo

9、-2n2n+5註：关于n的有理分式当n->oo时的极限情况例2填空：(1)i(V2/72+1)1°(2)lim加亠—2/显，°="fg2a^n+arr-3n+7tr8例3limV«(y/n+1-Vn)."T8例4lim———.aHl.“*a"+]2.双逼基本技法：大小项双逼法，参阅[4]P53.例5求下列极限：(1)lim(V3-l)sin(2n2+l);"—>oc(2)limf71=;f=o+ilim/+^+…十ey/4n2+Iy/4n2+22z?+l例6lim'4n.(1<诉='^4n4n-1H2<八"十"一-—>1.)“toon例7

10、勺〉0,(1