从特殊三棱锥到一般三棱锥问题.ppt

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1、解三棱锥三棱锥对于多面体，如同三角形对于多边形.三角形为多边形之根，三棱锥为多面体之根.注意，三棱锥是个四面体，有4个面、6条棱.图形的认识，从特殊到一般：（1）三棱锥中最特殊的是正四面体，次特殊的是正三棱锥.（3）与直三角形对应的有直三棱锥.（2）与等腰直角三角形对应的有“正直三棱锥”.（4）与等腰三角形对应的有“等腰四面体”.1解正四面体正四面体化归为正方体求解.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由6条面对角线A1D、BC1、A1C1、BD、A1B、DC1为棱的四面体即为正四面体A1-BC1D.正四面体A1-BC1

2、D的棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1棱长的倍；体积为正方体的1/3；且有公共的外接球，公共的中心和相等的外半径.2“正直”三棱锥我们把“三条侧棱相等且两两垂直的三棱锥”称作“正直三棱锥”.它的三个侧面是全等的等腰直角三角形，1个底面是正三角形.正直棱锥的直观图画法有“立式”（左）和“卧式”（右）两种.立式图中，1个侧面置于水平位置.可以清楚地看到它在对应的正方体中的位置；卧式图中，它的底面置于水平位置，便于在竖直方向显示底面上的高线.3解正直三棱锥化为正方体求解一、线线关系：（1）相交垂直：AD⊥DD1（2）相交

3、45°：AD与AD1（3）相交60°：AD1与AC（4）异面垂直AC与DD1距离为/2二、线面关系（1）垂直：AD与DCD1（2）交成45°：AD与ACD1三、面面关系（1）垂直：三侧面两两之间（2）交成arctan：如平面ACD1与平面ACD4正直三棱锥的高线【题目】若正直三棱锥V-ABC的侧棱长为VA=1.求它高线VH的长度.设斜高在△ABC上的射影为H，则H为△ABC的中心.【解1】（斜高法）正直三棱锥V-ABC中，易知AB=BC=CA=斜高VD=/2故有高线【说明】正直三棱锥的高线长为外接正方体对角线长的1/3.5

4、【题目】若正直三棱锥V-ABC的侧棱长为VA=1.求它高线VH的长度.【解2】（等积法）立式图中，易知正直三棱锥的体积为【证明】等积法常用来“求点到平面的距离”.又故得6正直三棱锥的外接球【题目】正直三棱锥的侧棱长为1，求其外半径长.正直三棱锥与其外接正方体有共同的外接球，因此“单位正直三棱锥”与单位正方体有共同的外半径.一般探讨为【解答】易知正直三棱锥的“外心”O在高线VH的延长线上.设VO=CO=x，则HO=又由OC2=HO2+HC2得解得7考题展示【考题】（2006年川卷第13题）【分析】已知的三棱锥为正直三棱锥.【

5、解1】立式图如右，OM在ABC上射影为MC，OM与ABC的成角为∠OMC.【说明】线面角（OM与ABC成角）化为线线角（OM与MC）亦即面面角（C-AB-O）.在三棱锥O-ABC，三条棱OA、OB、OC两两垂直且相等.M为AB的中点.则OM与平面ABC的成角的大小为.设OC=a，则OM=故∠OMC=arctan（答案）8【考题】（2006年川卷第13题）【分析】已知的三棱锥为正直三棱锥.【解2】卧式图如右，H为底面正三角形ABC的中心.【说明】本法容易误入迁解.如先求OH和MH的长度.在三棱锥O-ABC，三条棱OA、OB、

6、OC两两垂直且相等.M为AB的中点.则OM与平面ABC的成角的大小为.得∠OMC=arctan（答案）OM与ABC的成角为∠OMC.9正方体内接三棱锥的个数【问题】以正方体8个顶点中的4个顶点作三棱锥，这样的三棱锥称正方体的内接三棱锥.求正方体内接三棱锥的个数.其中，共面的4点的个数是（1）正方体的6个面；（2）正方体的6个对角面.故正方体的内接三棱锥有70–12=58（个）【答案】从8个顶点中任取4个的组合数为【说明】这58个三棱锥与正方体同外心，共外接球.10“长棱”三棱锥正方体内接三棱锥可分四类.除了内接正四面体和内

7、接正直三棱锥外，还有两类.（1）斜三棱锥(图左).（2）底面为直三角形的直三棱锥(图右).它们各有1条长度为的“长棱”，其外心在长棱的中点上.11直正三棱锥底面为正三角形，且有一条侧棱垂直于底面的三棱锥称作“直正三棱锥”.确定一个“直正三棱锥”需2个条件，即底棱长a和直棱长b.“直正三棱锥”与“正直三棱锥”不同，后者的确定条件只1个.直正三棱锥的四个面中：（1）底面是正三角形；（2）有2个侧面为直角三角形，它们都垂直于底面；（3）另一个侧面为等腰三角形；12解直正三角形（1）求三棱锥P-ABC的体积；【题目】三棱锥P-AB

8、C中，PA⊥面ABC，且PA=，又AB=BC=CA=1.（2）求A到平面PBC的距离.【解答】（1）P-ABC的体积（2）设A到平面PBC的距离为h.易得三角形PBC的面积为由等积原理：（答案）13【题目】三棱锥P—ABC中，PA⊥面ABC，且PA=，又AB=BC=CA=1.【证明】易知BO⊥AC，又B