三棱锥顶点射影问题.ppt

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1、三棱锥顶点射影问题三角形的“心”1、重心:三条中线的交点2、垂心:三条高的交点3、外心:三条边垂直平分线的交点（或说△外接圆的圆心）4、内心:三个角平分线的交点（或说△内接圆圆心）5、中心（正△特有）正△的重心、垂心、内心、外心重合的点例1：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCOOA=OB=OCO为三角形ABC的外心例2：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCO为三角形ABC的垂心DO例3：已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面

2、ABC的射影的位置？PABCO为三角形ABC的内心OEF典型：四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影为O(1)P到三顶点距离相等(3)P到三边AB、BC、AC距离相等(2)侧棱两两垂直PABCO外垂内O是ABC的心O是ABC的心O是ABC的心对棱两两垂直OPABC例：四面体P-ABC中，若三棱锥有两组对边互相垂直，则另一组对边必然垂直O是垂心垂O是ABC的心(1)若PA=PB=PC，则O是△ABC的.PABCO外心关于三角形的四心问题设O为三棱锥P—ABC的顶点P在底面上的射影.综合练习：(2)若PA=PB=PC,∠C=900,则O是AB的_____点.中PABCO关于三角形的四心

3、问题综合练习：垂心EFPABCO(3)若三条側棱两两互相垂直,则O是△ABC的.关于三角形的四心问题综合练习：EFPABCO(5)若三条側棱与底面成相等的角，则O是△ABC的_____.外心关于三角形的四心问题综合练习：ABCD证明：E例：在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：对角线ACBD。CEAEEBD,,,连接的中点取ACBDACEAC^Ì,平面Q=Ç`ACEBDECEAE^,,平面又QBDCEDCBC^=,,QBDAEADAB^=,,Q练习例1、已知直角△ABC所在平面外有一点P，且PA=PB=PC，D是斜边AB的中点，求证：PD⊥平面ABC.ABC

4、PD证明：PA=PB，D为AB中点∴PD⊥AB，连接CD，∵D为Rt△ABC斜边的中点∴CD=AD,又PA＝PC,PD=PD∴△PAD≌△PCD而PD⊥AB∴PD⊥CD,CD∩AB=D∴PD⊥平面ABC例2、如图平面α、β相交于PQ，线段OA、OB分别垂直平面α、β，求证：PQ⊥ABPQOAB证明：∵OA⊥αPQα∴OA⊥PQOB⊥β,PQβ∴OB⊥PQ又OA∩OB=0∴PQ⊥平面OAB而AB平面OAB∴PQ⊥ABSABCHSABCH1.如图,已知点M是菱形ABCD所在平面外一点，且MA=MC求证：AC⊥平面BDMMABCDOPABCO3.如图，圆O所在一平面为，AB是圆O的直径

5、，C在圆周上,且PAAC,PAAB,求证：（1）PABC（2）BC平面PAC例：平面内有一个三角形ABC，平面外有一点P，自P向平面作斜线PA，PB，PC，且PA＝PB＝PC，若点O是△ABC的外心，求证：PO⊥平面ABC.【解】如图所示，分别取AB，BC的中点D，E，连接PD，PE，OD，OE.因为PA＝PB＝PC，所以PD⊥AB，PE⊥BC，因为O是△ABC的外心，所以OD⊥AB，OE⊥BC，又因为PD∩DO＝D，OE∩PE＝E，所以AB⊥平面PDO，BC⊥平面PEO，于是有AB⊥PO，BC⊥PO，AB∩BC＝B，从而推得PO⊥平面ABC.