单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义.ppt

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时间:2020-03-21

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1、4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义都昌三中高一数学组问题引航1.单位圆中是如何定义正、余弦函数的?正、余弦函数的定义域是什么?2.正、余弦函数在各个象限的符号如何确定?3.任意角的三角函数的定义是什么?锐角的正弦、余弦函数的定义:对边邻边斜边以原点为O圆心,以单位长度为半径的圆叫做单位圆.x(1,0)OP(u,v)αyMx当点P(u,v)就是的终边与单位圆的交点时,锐角三角函数会有什么结果?下面我们在直角坐标系中,利用单位圆来进一步研究锐角的正弦函数、余弦函数任意角的正弦函数、余弦函数定义:xyOP(u,v)αA(1,0)(1)v叫做α的正弦,记作

2、sinα,即sinα=v;(2)u叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=u如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(u,v),那么:三角函数都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数.角(弧度数)实数三角函数可以看成是自变量为实数的函数一一对应定义域函数1.单位圆中任意角的正弦函数、余弦函数vu全体实数全体实数2.正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号方法规律:正弦上正下负,余弦右正左负。3.任意角的正弦函数、余弦函数(1)前提:设角α的顶点是坐标系的原点,始边与x轴的非负半轴重合,角α终边上任一点Q(x,y).(2)结论:OQ的长度

3、为且sinα=___,cosα=___.1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)sinα,cosα中可以将“α”与“sin”,“cos”分开.()(2)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.()(3)角α终边上有一点P(1,1),故cosα=1.()【解析】(1)错误.符号sinα,cosα是一个整体,不能分开.(2)正确.终边相同的角的同一三角函数值相等.(3)错误.P(1,1),x=1,y=1,故cosα=×√×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知角α终边经过点则角α的最小正值是______.(2)角α的终边经过点P(m,4),且c

4、osα=则m=_______.(3)角α满足sinα>0,cosα<0,则α在第______象限.【解析】(1)所以α的最小正值为答案:(2)r=因为cosα=解得m=3(舍去),m=-3.答案:-3(3)当sinα>0时,α在第一、二象限及y轴正半轴,当cosα<0时,α在第二、三象限及x轴负半轴,故sinα>0,cosα<0时,α在第二象限.答案:二【即时练】当角α=0时,sinα=______;若角α=-3,则sinα的符号为______(填“正”或“负”).【解析】当角α=0时,sinα=0;若角α=-3,则角α是第三象限角,所以sinα<0.答案:0

5、负【题型示范】类型一任意角的正弦函数、余弦函数【典例1】(1)(2014·石家庄高一检测)已知角α与单位圆的一个交点坐标是则cosα等于()(2)已知角α的终边经过点P(-2,-4),求角α的正、余弦函数值.【自主解答】(1)选D.因为所以故cosα=(2)因为点P(-2,-4)在角α的终边上,故u1=-2,v1=-4,可知r=OP=所以sinα=cosα=【变式训练】已知角α的终边经过点P(2,-3),则cosα的值是()【解析】选C.角α的终边经过点P(2,-3),故由三角函数的定义知故选C.【考题链接】(2013·西安高一检测)已知角α为第二象限的角.P

6、(a,4)为α终边上一点,且sinα=则sinα+cosα的值为____.【解析】

7、OP

8、=r=由sinα=得所以a=±3.又α为第二象限的角,所以a=-3,所以cosα=所以sinα+cosα=15类型二三角函数值的符号的应用【典例2】(1)(已知角α是第二象限角,则点P(sinα,cosα)在第__象限.(2)确定下列各式的符号.①cos200°.②sin160°+cos(-40°).③sin210°·cos260°.【自主解答】(1)因为角α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0,所以点P的坐标符号是(+,-),所以点P在第四象限.(2)①200°

9、为第三象限的角,所以cos200°<0.②160°为第二象限的角,所以sin160°>0.-40°为第四象限的角,所以cos(-40°)>0,所以sin160°+cos(-40°)>0.③210°为第三象限的角,sin210°<0,260°为第三象限的角,所以cos260°<0,所以sin210°·cos260°>0.四【方法技巧】正弦、余弦函数值的正负规律【变式训练】确定下列各式的符号.(1)sin2014°.(2)(3)sin4·cos4.【解析】(1)2014°=360°×5+214°,所以2014°为第三象限的角,所以sin2014°<0.(2)为第四

10、象限的角,所以cos>0.(3)4∈所

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