任意角的正弦函数余弦函数的定义及单位圆与周期性课件.ppt

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1、1.4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义1.4.2单位圆与周期性1.了解单位圆的概念.2.借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义.(难点)3.理解周期函数、周期、最小正周期的定义.（重点）1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？复习回顾AabCBc在直角三角形ABC中，∠C=90°，sinα，cosα，tanα分别叫作角α的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？当角α不是锐角时，我们必须对sinα，cosα，tanα的值进行推广，以适应任意角的需要.如何定义任意角的三角函数呢?OabMPyx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角

2、函数？新课导入yx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？新课导入﹒﹒o如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？﹒∽诱思探究MOyxP(a,b)3.锐角三角函数（在单位圆中）以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆.yox1M由三角形相似知识可知,比值与点P(u,v)在终边上的位置无关,只与角有关.4.任意角的三角函数定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点那么:（1）叫做的正弦，记作，即；（2）叫做的余弦，记作，即；（3）叫做的正切，记作，即。所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函

3、数值的函数，我们将他们称为三角函数.﹒使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.注：三角函数sinα=y，cosα=x都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数。通常，我们用x表示自变量，即表示角的大小(弧度制），用y表示函数值，这样就定义了任意角的三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx。xyo的终边说明（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点横坐标的比值.的横坐标，正切就是交点的纵坐标与.（2）正弦、余弦总有意义.当的终边在横坐标等于0，无意义，此时轴上时，点P的（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关

4、系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数.任意角的三角函数的定义过程：直角三角形中定义锐角三角函数直角坐标系中定义锐角三角函数单位圆中定义锐角三角函数单位圆中定义任意角的三角函数例1求的正弦、余弦和正切值.解：在直角坐标系中，作，易知的终边与单位圆的交点坐标为所以思考：若把角改为呢?，，实例剖析﹒﹒思考：由三角函数的定义，如何求任意角α的正弦、余弦值？提示：求任意角α的正弦、余弦值分两步，第一步求出角α的终边与单位圆的交点P，第二步写出点P的坐标，其中纵坐标为正弦值，横坐标为余弦值.例2已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值.解:由已知

5、可得设角的终边与单位圆交于，分别过点、作轴的垂线、＼于是，∽设角是一个任意角，是终边上的任意一点，点与原点的距离那么①叫做的正弦，即②叫做的余弦，即③叫做的正弦，即任意角的三角函数值仅与有关，而与点在角的终边上的位置无关.定义推广：于是，巩固提高练习1、已知角的终边过点，求的三个三角函数值.解：由已知可得：010-1010-101在直角坐标系的单位圆中，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表观察此表格中的数据,你能发现函数y=sinx和y=cosx的变化有什么特点吗？1.根据三角函数的定义，确定它们的定义

6、域（弧度制）探究三角函数定义域R2.确定三角函数值在各象限的符号yxoyxoyxo+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）R口诀“一全正,二正弦，三切,四余弦.”+--+--++-+-例3确定下列各三角函数值的符号：⑴cos250°;⑵sin(-π/4)。回顾归纳：准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键。可以利用口诀“一全正、二正弦、四余弦”来记忆．解：（1）易知250°为第三象限角，所以cos250°的符号为负；（2）易知-π/4为第四象限角，所以sin(-π/4)的符号为负；典例剖

7、析思考：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）其中利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数值.？例4确定下列三角函数值的符号：（1）（2）（3）解：（1）因为是第三象限角，所以；（2）因为=，而是第一象限角，所以；练习确定下列三角函数值的符号（3）因为是第四象限角，所以.上述两个等式说明：对于任意一个角x，每增加的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变.所以，正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的.我们把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期

8、函数.例如，等都是它们的周期.其中是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期.一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都