2018年秋九年级数学上册专题训练相似三角形的性质与判定的综合应用试题（新版）湘教版.docx

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1、相似三角形的性质与判定的综合应用►　应用一　利用相似三角形求线段长1．如图ZT5－1所示，正方形ABCD的边长是3，E是正方形ABCD的边AB上的点，且AE＝1，EF⊥DE交BC于点F，求线段CF的长．图ZT5－12．如图ZT5－2，在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F.(1)△ABE与△ADF相似吗？请说明理由．(2)若AB＝6，AD＝12，BE＝8，求DF的长．图ZT5－2►　应用二　利用相似三角形求角度3．如图ZT5－3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.(1)求证：△ADB

2、∽△EAC；(2)若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数．图ZT5－3►　应用三　利用相似三角形求线段的比例关系4．如图ZT5－4，在△ACB和△ADE中，AB·AD＝AC·AE，∠CAE＝∠BAD，S△ADE＝4S△ACB.求证：DE＝2BC.图ZT5－45．2017·杭州如图ZT5－5，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若AD＝3，AB＝5，求的值．图ZT5－56．如图ZT5－6，在△ABC中，AB＞AC，在AB边上取一点D，AC边上取一点E，使AD＝

3、AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证：＝.图ZT5－67．如图ZT5－7，D是△ABC的边BC上的点，BD∶DC＝2∶1，E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，求BE∶EF的值．图ZT5－7►　应用四　利用相似三角形求面积8．如图ZT5－8，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG＝4，求△CEF的面积．图ZT5－8　　　　详解详析1．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠ADE＋∠DEA＝90°.又∵EF⊥DE，∴∠AED＋∠BEF＝90°，∴∠ADE＝∠B

4、EF，∴△ADE∽△BEF，∴＝.∵AE＝1，∴BE＝AB－AE＝2，∴＝，∴BF＝.∵BC＝3，∴CF＝BC－BF＝.2．解：(1)△ABE与△ADF相似．理由如下：∵四边形ABCD为矩形，DF⊥AE，∴∠ABE＝∠AFD＝90°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF,∴△ABE∽△DFA.(2)∵△ABE∽△DFA，∴＝.在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝8，∴AE＝10，∴＝，∴DF＝7.2.3．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACE.∵AB2＝DB·CE，∴＝，∴＝，∴△ADB∽△EAC.(2)∵△ADB∽△EAC，∴∠BAD

5、＝∠E，∠D＝∠CAE.∵∠DAE＝∠BAD＋∠BAC＋∠CAE，∴∠DAE＝∠D＋∠BAD＋∠BAC.∵∠BAC＝40°，AB＝AC，∴∠ABC＝70°，∴∠D＋∠BAD＝70°，∴∠DAE＝∠D＋∠BAD＋∠BAC＝70°＋40°＝110°.4．证明：∵AB·AD＝AC·AE，∴＝.又∵∠CAE＝∠BAD，∴∠CAE＋∠DAC＝∠BAD＋∠DAC，即∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB.又∵S△ADE＝4S△ACB，∴＝＝4，∴＝2，∴DE＝2BC.5．解：(1)证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°.∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED

6、＝∠ACB.又∵∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC.(2)由(1)可知：△ADE∽△ABC.∵AF⊥DE，AG⊥BC，相似三角形对应高的比等于相似比，∴＝＝.6．：如图，过点B作BF∥AC交PD的延长线于点F，则△PCE∽△PBF，∴＝.∵BF∥AC，∴∠1＝∠2.∵AD＝AE，∴∠2＝∠4.又∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠3，∴BF＝BD，∴＝.7．解：如图，过点E作EG∥BC，交AC于点G.∵EG∥BC，∴△AEG∽△ADC，∴＝＝.∵BD∶DC＝2∶1，∴＝.∵EG∥BC，∴△FEG∽△FBC，∴＝＝，∴BE∶EF＝5∶1，即BE∶EF的值为5.8．：∵四边

7、形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝9，∴∠DAE＝∠AEB.∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE＝6，∴EC＝BC－BE＝3.∵BG⊥AE，∴在Rt△ABG中，AG＝＝2，∴AE＝2AG＝4，∴S△BEA＝AE·BG＝8.∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠F.又∵∠AEB＝∠FEC，∴△BEA∽△CEF，∴＝＝4，∴S△CEF＝2.