离散傅里叶变换课件.ppt

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1、第3章离散傅里叶变换(DFT)3.1离散傅里叶变换的定义及物理意义3.2离散傅里叶变换的基本性质3.3频率域采样3.4DFT的应用举例习题与上机题傅里叶变换和Z变换是数字信号处理中常用的重要数学变换。对于有限长序列，还有一种更为重要的数学变换，即本章要讨论的离散傅里叶变换(DiscreteFourierTransform，DFT)。DFT之所以更为重要，是因为其实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，从而实现了频域离散化，使数字信号处理可以在频域采用数值运算的方法进行，这样就大大增加了数字信号处理的灵活性。更重要的是，D

2、FT有多种快速算法，统称为快速傅里叶变换(FastFourierTransform，FFT)，从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现。因此，时域离散系统的研究与应用在许多方面取代了传统的连续时间系统。所以说，DFT不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。本章主要讨论DFT的定义、物理意义、基本性质以及频域采样和DFT的应用举例等内容。3.1离散傅里叶变换的定义及物理意义3.1.1DFT的定义设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为(3.1.1)X(k)的离散

3、傅里叶逆变换(InverseDiscreteFourierTransform,IDFT)为式中，，N称为DFT变换区间长度，N≥M。通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。为了叙述简洁，常常用DFT[x(n)]N和IDFT[X(k)]N分别表示N点离散傅里叶变换和N点离散傅里叶逆变换。下面证明IDFT[X(k)]的唯一性。(3.1.2)把(3.1.1)式代入(3.1.2)式，有由于所以，在变换区间上满足下式：IDFT[X(k)]N=x(n)0≤n≤N-1由此可见，(3.1.2)

4、式定义的离散傅里叶逆变换是唯一的。【例3.1.1】x(n)=R4(n),求x(n)的4点和8点DFT。解设变换区间N=4，则设变换区间N=8，则由此例可见，x(n)的离散傅里叶变换结果与变换区间长度N的取值有关。对DFT与Z变换和傅里叶变换的关系及DFT的物理意义进行讨论后，上述问题就会得到解释。3.1.2DFT与傅里叶变换和Z变换的关系设序列x(n)的长度为M，其Z变换和N(N≥M)点DFT分别为比较上面二式可得关系式(3.1.3)或(3.1.4)(3.1.3)式表明序列x(n)的N点DFT是x(n)

5、的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。(3.1.4)式则说明X(k)为x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区间[0,2π]上的N点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。由此可见，DFT的变换区间长度N不同，表示对X(ejω)在区间[0,2π]上的采样间隔和采样点数不同，所以DFT的变换结果不同。上例中，x(n)=R4(n)，DFT变换区间长度N分别取8、16时，X(ejω)和X(k)的幅频特性曲线图如图3.1.1所示。由此容易得到x(n)=R4(n)的4点DFT为X(k)=DFT[x(n)]4=4δ(k)，这一特殊的结果在下面将得

6、到进一步解释。图3.1.1R4(n)的FT和DFT的幅度特性关系3.1.3DFT的隐含周期性前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于的周期性，使(3.1.1)和(3.1.2)式中的X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有所以(3.1.1)式中，X(k)满足：实际上，任何周期为N的周期序列　　都可以看做长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是的一个周期，即上述关系如图3.1.2（a）和（b）所示。一般称周期序列　　中从n=0到N－1的第一个周期为　　的主值

7、区间，而主值区间上的序列称为　　的主值序列。因此x(n)与　　的上述关系可叙述为：　是x(n)的周期延拓序列，x(n)是　　的主值序列。(3.1.5)(3.1.6)为了以后叙述简洁，当N大于等于序列x(n)的长度时，将(3.1.5)式用如下形式表示：　　　　　　　　　　　　　　(3.1.7)式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，((n))N表示模N对n求余，即如果n=MN+n10≤n1≤N－1,M为整数则((n))N=n1例如，,则有所得结果符合图3.1.2(a)和(b)所示的周期延

8、拓规律。图3.1.2x(n)及其周期延拓序列应当说明，若x(n)实际长度为M，延拓周期为N，则当N