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1、被《学知报》骗的稿子，请各位尽情享用慎于选择赢在起点524500广东省吴川市第一中学柯厚宝一、感悟方法ABCDA1B1C1D1PNM自从引入空间向量后,给立几问题的解答提供了更丰富灵活的方法,一是传统几何法(下简称“几何法”),二是空间向量线性运算法(下简称“回路法”),三是空间向量坐标运算法(下简称“坐标法”).这三种方法的选择恰当与否,直接影响到解答的易与繁,需慎重.二、原题呈现教材P98习题3.1的第10题:如图,在正方体中,点M,N分别为棱和的中点,求CM和所成角的余弦值.分析:由于所给的图形是正方体,用三种方法解答均可,且难度相差不远,其中以“坐标法”较为简便.三、知识拓展在方法的选
2、择中,需注意下面几个原则:ABCDA1B1C1D1P原则一、易于转化,“几何法”优先例1如图,在正方体中,点P是CD上的动点,则直线与直线所成的角等于()A.B.C.D.分析:连接,可知平面,于是.解析:连接,则,,平面,平面,∴,即与所成的角等于.故选D.ABCDA1B1C1D1P点评:虽然点P为动点,但连接后,即可将线线问题转化为线面问题,转化非常方便,于是本解机乎可“望题即解”,相比之下,由于点P为动点,用其余两种方法则难于操作.原则二、易于立标,“坐标法”优先例2如图,已知正方体的棱长为1,点P在棱上运动(不含两点),求△的面积的最小值.分析:建立空间直角坐标系后,设,在上任取一点,要
3、使△的面积最小,必有与,求点P,Q的坐标后,可求S的最小值.解析:以为原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,设,则,在上任取一点,由,得,∴,令,有,又,,,当△的面积的最小时,最小,必有,,得,∴,解得,这时=,即,又.∴△的面积,即△的面积的最小值为.2被《学知报》骗的稿子，请各位尽情享用点评:本题易于建立空间直角坐标系求距离,进而求△的面积,所以选用了“坐标法”,但要注意过中的细节处理,尽一切可能的降低运算量,如令.若用“几何法”,易产生漏洞,用“回路法”则更难考虑△的面积.原则三、非前两者,“回路法”优先例3若异面直线所成的角为,AB是公垂线,E,F分别是异面直线上到A,B距离为2
4、和1的两点,当时,线段AB的长为.分析:由空间向量构造“回路向量”,考虑到与,abABEF21与,与的夹角较为明显,可将其变形为,两边平方即可解得.解析:如图,由,得(1)当时,有,得;(2)当时,有,得.∴线段AB的长为或.点评:本题考虑到若用前两种方法都难以奏效,于是选用了“回路法”,更方便了“异面直线所成的角为”的讨论与运用,使得解题快捷无比.2
