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1、求二次函数解析式（一）1.一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)已知图象上三点坐标，特别是已知函数图象与y轴的交点坐标（0，c）时，使用一般式很方便。例1.已知二次函数图象经过A(2,-4),B(0,2),C(-1,2)三点，求此函数的解析式。解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c∵图象过B(0,2)∴ c=2∴ y=ax2+bx+2∵图象过A(2,-4),C(-1,2)两点∴-4=4a+2b+22=a-b+2解得a=-1,b=-1∴函数的解析式为：y=-x2-x+22.顶点式y=a(x+h)2+k(a≠0)已
2、知对称轴方程x=-h、最值k或顶点坐标（-h,k）时优先选用顶点式。例2.已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式。解法1：（利用顶点式）设二次函数解析式为：y=a(x+h)2+k (a≠0)∵当x=3时，有最大值4∴顶点坐标为(3,4)∴ h=-3,k=4∴ y=a(x-3)2+4∵函数图象过点（4，-3）∴a(4-3)2+4=-3∴ a=-7∴ y=-7(x-3)2+4=-7x2+42x-59∴二次函数的解析式为：y=-7x2+42x-59解法2：（利用一般
3、式）设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c(a≠0)由题意知16a+4b+c=-3-b/2a=3(4ac-b2)/4a=4解方程组得：a=-7b=42c=-59∴二次函数的解析式为：y=-7x2+42x-593．交点式y=a(x-x1)(x-x2)例3.二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,-5),B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数的解析式。解:∵二次函数的图象过点B(5,0),对称轴为直线x=3设抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为(x1,0)则对称轴：x=(x1+x2)/2即：(5
4、＋x1)/2＝3∴x1=1∴c点的坐标为(1,0)设二次函数解析式为：y=a(x-1)(x-5)∵图象过A(0,-5)∴-5=a(0-1)(0-5)即-5=5a∴a=-1∴ y=-(x-1)(x-5)=-x2+6x-5（三）练习题二次函数图象经过点(1,4),(-1,0)和(3,0)三点，求二次函数的解析式。解法1：（一般式）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0)∴a+b+c=4 ①a-b+c=0 ②9a+3b+c=0 ③①-②得：2b
5、=4∴b=2代入②、③得：a+c=2 ④9a+c=-6 ⑤⑤-④得：8a=-8∴a=-1代入④得：c=3∴函数的解析式为：y=-x2+2x+3解法2：（顶点式）∵抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0)，∴1=(-1+3)/2∴点(1,4)为抛物线的顶点由题意设二次函数解析式为：y=a(x+h)2+ky=a(x-1)2+4∵抛物线过点(-1,0)∴0=a(-1-1)2+4得a=-1∴函数的解析式为：y=-1(x-1)2+4=-x2+2x+3解法3：（两根式）由题意可知两根为x1=-1、x2=3设二次函数解
6、析式为y=a(x-x1)(x-x2)则有：y=a(x+1)(x-3)∵函数图象过点(1,4)∴4=a(1+1)(1-3)得a=-1∴函数的解析式为：y=-1(x+1)(x-3)=-x2+2x+3
