数值分析(研究生)第四章线性方程组的直接解法二.ppt

《数值分析(研究生)第四章线性方程组的直接解法二.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四章线性方程组的直接解法（二）第五节向量和矩阵范数第六节方程组的性态与误差分析§5向量和矩阵的范数一、向量范数定义Rn空间的向量范数

2、

3、·

4、

5、对任意满足条件：（正定性)对任意(齐次性)（三角不等式)常用向量范数：==niixx11

6、

7、

8、

9、

10、

11、v==niixx122

12、

13、

14、

15、

16、

17、vpnipipxx/11

18、

19、

20、

21、

22、

23、==v

24、

25、max

26、

27、

28、

29、1inixx=v注：定义向量序列收敛于向量是指对每一个1in都有.可以理解为定义若存在常数C>0使得对任意有,则称范数

30、

31、·

32、

33、A比范数

34、

35、·

36、

37、B强.定义若范数

38、

39、·

40、

41、A

42、比

43、

44、·

45、

46、B强，同时

47、

48、·

49、

50、B也比

51、

52、·

53、

54、A强，即存在常数C1、C2>0使得，则称

55、

56、·

57、

58、A和

59、

60、·

61、

62、B等价.定理Rn上一切范数都等价.可以理解为对任何向量范数都成立.二、矩阵范数定义Rmn空间的矩阵范数

63、

64、·

65、

66、对任意满足：（正定性)对任意(齐次性)（三角不等式)(4)*

67、

68、AB

69、

70、

71、

72、A

73、

74、·

75、

76、B

77、

78、（相容当m=n时)常用矩阵范数：Frobenius范数—向量

79、

80、·

81、

82、2的直接推广对方阵以及有利用Cauchy不等式可证.算子范数由向量范数

83、

84、·

85、

86、p导出关于矩阵ARnn的p范数:则特别有：（行和范数

87、）（列和范数）（谱范数）矩阵ATA的最大特征根注：Frobenius范数不是算子范数.我们只关心有相容性的范数，算子范数总是相容的.即使A中元素全为实数，其特征根和相应特征向量仍可能是复数.将上述定义中绝对值换成复数模均成立.若不然，则必存在某个向量范数

88、

89、·

90、

91、v使得对任意A成立.反例?三、谱半径定义矩阵A的谱半径记为(A)=，其中i为A的特征根.ReIm(A)定理对任意算子范数

92、

93、·

94、

95、有证明：由算子范数的相容性，得到将任意一个特征根所对应的特征向量代入定理若A对称，则有证明：A对称若是

96、A的一个特征根，则2必是A2的特征根.又：对称矩阵的特征根为实数，即2(A)为非负实数，故得证.对某个A的特征根成立所以2-范数亦称为谱范数.定理若矩阵B对某个算子范数满足

97、

98、B

99、

100、<1，则必有①可逆②证明：①若不然，则有非零解，即存在非零向量使得②§6方程组的性态与误差分析求解时，A和的误差对解有何影响？设A精确，有误差　，得到的解为，即绝对误差放大因子又相对误差放大因子设精确，A有误差　，得到的解为，即(只要A充分小，使得是关键的误差放大因子，称为A的条件数，记为cond(A),越则A越病态，难得准确解.

101、大注:cond(A)的具体大小与

102、

103、·

104、

105、的取法有关，但相对大小一致.cond(A)取决于A，与解题方法无关.常用条件数有：cond(A)1cond(A)cond(A)2特别地，若A对称，则条件数的性质：A可逆，则cond(A)p1；A可逆，R则cond(A)=cond(A)；A正交，则cond(A)2=1；A可逆，R正交，则cond(RA)2=cond(AR)2=cond(A)2.精确解为例1计算cond(A)2.A1=解：考察A的特征根39206>>1测试病态程度：给　一个扰动，其相对误差为

106、此时精确解为2.0102>200%例2Hilbert阵cond(H2)=27cond(H3)748cond(H6)=2.9106cond(Hn)asn注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A1，而由经验得出.行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）；元素间相差大数量级，且无规则；主元消去过程中出现小主元；特征值相差大数量级.近似解的误差估计及改善：设　　的近似解为　，则一般有cond(A)误差上限改善方法：Step1:近似解Step2:Step3:Step4:若　可被精确解出，则有就是精确解了

107、.经验表明：若A不是非常病态（例如：），则如此迭代可达到机器精度；但若A病态，则此算法也不能改进.