线性方程组的直接解法分析ppt课件.ppt

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1、第三章线性方程组的直接解法基础教学部数学教研室彭晓华立体化教学资源系列——数值分析自然科学和工程计算中的很多问题的解决常常归结为求解线性方程组。如三次样条插值函数问题、用最小二乘原理确定拟合曲线、求解微分方程的数值解等，最终都要转化为求解线性方程组。求解线性方程组可采用：1、直接法——经有限步算术运算可求得方程组的精确解的方法（若计算过程无舍入误差）。已知的直接解法是克莱姆法则(Gramer)。2、迭代法——构造某种迭代格式，用其极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。3.1引言解线性方程组的直接方法：高斯(Gauss)消元法矩阵的三角分解法矩阵的条件数与方程组的性态设线性方程组为

2、返回或写成矩阵形式：或简单地记为:若aii≠0,则xi=bi/aii,i=1,2,…,n一、对角形方程组3.2高斯消去法3.2.1三角形方程组的解法二、下三角方程组（返回LU）返回式3.19三、上三角方程组（返回Gauss）返回LU返回(3.20)通过对方程组作初等变换，把一般形式的线性方程组化为等价的易于求解的三角方程组。3.2.2消去法的基本思想高斯消去法是一种古老的求解线性方程组的方法，它就是通过一系列的初等变换（消元），把线性方程组（3.1）化为等价的上三角方程组（3.5），然后通过回代方法求出原方程组的解。★高斯消去法（GaussianElimination）求解线性方程组

3、解：例1、3.2.3高斯消元过程（即初等行变换）记方程组（3.1）为对应的增广矩阵为（3.6）返回矩阵的三角分解第一步消元：利用主元素（即为消元过程中的主对角线元素）消去下面的取消元因子消元计算得到用第行减去第一行的倍（3.7）返回三角分解1其中，第二步消元：若，用第行减去第二行的倍，得（3.8）返回三角分解2其中第步消元继续上述消元过程，假设第1步至第得到：步计算已经完成（3.9）若，用第行减去第行的倍，得，（3.10）其中继续上述消元过程，最后得到上三角形式阶线性方程组消元过程可描述为经过步消元化成上三角方程组.(3.11)（3.12）（上三角形式）.三、高斯消去法的算法公式总结

4、上述消元与回代过程，得到高斯消去法的算法公式如下，若取消元因子回代公式：若消元公式：对（3.13）（3.14）3.2.3高斯消去法算法1、输入数据：n,A,b2、消元过程：3.回代求解4.输出方程组的解3.2.2高斯消去法的可行性与运算量（1）高斯消去法的可行性根据高斯消去算法公式可知，算法得以实现的前提条件，即为：或这是因为：令，若，则有.（2）高斯消去法的运算量步消元中，消元因子需要作次除法运算，消元需作次乘法运算，右端项需作于是完成全部消元计算的乘法总运算量：除法总运算量：.分析高斯消去法可知，第次乘法运算。回代过程乘除法总运算量：因此，高斯消去法解阶线性方程组的乘除法总运算量

5、为：（当对比第1章例11，用克莱姆法则解方程组的运算量约为.当时，较大时）.3060，克莱姆法则的运算量为是在每秒作1亿次乘除法运算的计算机上进行的，那么高斯消去法解20阶方程组约需0.00003秒，而克莱姆法则大约需307816年才能完成.由此可知克莱姆法则完全不适合在计算机上求解高维方程组.高斯消去法的运算量为.假设计算工作例2利用高斯消去法解方程组解1）消元计算.2）回代求解，得.证明因为3.2.3高斯变换约化【定理2】（用高斯变换约化）设（1）如果，则可以对实施高斯消元运算化为上三角形，即存在初等下，使，其中为上三角矩阵；为非奇异矩阵，则可通过带行交换的化为上三角形.总结高斯

6、消元过程，可以得到下述一些结果：（2）如果高斯消去法，将三角阵令，则有（为上三角形矩阵）.因此，结论（1）与（2）得证.【定理3】（用高斯变换约化）设如果，则可以实施高斯消元运算，，使其中为上梯形矩阵.所以结论是显然的.即存在初等下三角阵因为由于每次消元时是按未知量的自然顺序进行的，而顺序消元不改变A的主子式的值，因此高斯消元法可行的充分必要条件为A的各阶主子式不为零。实际上只要detA≠0，方程组就有解。*高斯消去法的局限性3.3高斯主元素消去法作分母会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散。2.即使高斯消元法可行，如果很小，运算中用它1.在高斯消元过程中，我们假定了对角元素

7、解：顺序消元：交换方程的顺序：经高斯消元：例2解方程组精确解为：x1=1/3，x2=2/3。保留5位有效数字。（1）设,其中为（2）消元过程中，即使，用小主元增长和舍入误差的累积、扩大，最后使得计算结果不可靠.；对一般的系数矩阵，最，因此，在高斯消去法中应引进选阶非奇异矩阵，可以应用高斯消元法求解.作除数会导致计算中间结果数量级严重（3）应避免采用小主元好保持乘数主元技巧，以便减少计算过程中舍入误差对求解的影响。【注】第一步,先在第1列选出绝对值最大的元素