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1、圆锥曲线知识提要一．坐标表示的焦半径公式1、椭圆（一类）PF1=r1=x+c2+y2由y2=b2-b2x2a2代入整理得r1=cax2+2cx+a2=a+ex2=a+ex,同理，PF2=r2=x-c2+y2=⋯=a-ex可以假想点P在y轴右边，r1>r2且x>0帮助，显然总有r1+r2=2a符合椭圆定义。公式常见应用：（1）椭圆上点到焦点最远距离a+c,最近距离a-c（2）椭圆上三点Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，若x1,x2,x3成等差数列，则到同一个焦点的焦半径rA,rB,rC也成等差数列。（3）定义直线x=∓a2c为椭圆x2a2+y2b2
2、=1的左右准线。由焦半径公式，椭圆上任意一点P(x,y)到对应焦点和对应准线的距离之比r1d1=r2d2=e总等于离心率e.2.双曲线x2a2-y2b2=1PF1=r1=x+c2+y2由y2=b2x2a2-b2代入整理得r1=cax2+2cx+a2=a+ex2=a+ex,由双曲线上点x≥a,若点P在右支上，r1=ex+a.同理，r2=ex-a.总有r1-r2=2a.若点P在左支上，r1=ex-a.同理，r2=ex+a.总有r2-r1=2a.公示的应用：（1）若双曲线上同一支上的三点Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，有x1,x2,x3成等差数列，则
3、它们到同一个焦点的焦半径rA,rB,rC也成等差数列。（2）定义直线x=∓a2c为双曲线x2a2-y2b2=1的左右准线。由焦半径公式，双曲线上任意一点P(x,y)到对应焦点和对应准线的距离之比r1d1=r2d2=e总等于离心率e.3.抛物线y2=2PxMF=r=x+p2公式的应用：抛物线上三点Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，若x1+x3=2x2，则rA+rC=2rB。二．圆锥曲线统一定义及方向角表示的焦半径公式1、统一定义：平面上到定点F与定直线l距离之比等于常数e的点轨迹。若01，则轨迹
4、为双曲线。圆锥曲线知识提要2.方向角焦半径公式（1）方向角定义如图：将Fx当始边，FM当终边所成角定义为点M的方向角。方向角θ范围0,2π将焦准距离统一表示为P。对于椭圆，双曲线P=b2c(要求记忆)（2）公式：r=eP1-ecosθe:离心率，对于椭圆，双曲线，eP=b2a.（3）公式的应用：焦点弦长公式MN=rM+rN=eP1-ecosθ-eP1-ecos(θ+π)=2eP1-e2cos2θ说明：（1）焦点弦长公式中，方向角θ以平方形式出现，不影响计算，可将方向角改为焦点弦和对称轴夹角：θϵ（0，π2].（2）有对称性θ改为夹角，公式对椭圆，双曲线的
5、左右焦点弦都成立。（3）对于双曲线当1-e2cos2θ=0时，θ所决定的焦点弦与渐近线平行，在实际上不存在。若θ较小，使1-e2cos2θ<0时，此时公式应表为MN=2eP1-e2cos2θ，此时焦点弦的两个端点分在两支上。（4）对于抛物线y2=2Px，∵e=1,MN=2P1-cos2θ=2P1-sin2θ.θ为焦点弦与对称轴夹角。（5）通径：垂直对称轴的焦点弦称通径，在MN=2P1-cos2θ中，令θ=900，得通径的统一表示2eP.对于椭圆，双曲线:2eP=2b2a；对于抛物线:2eP=2P.（6）以上结论容易推广到二类圆锥曲线，比如x2=Ky焦点弦
6、与对称轴夹角θ，则有MN=Ksin2θ.三．相交弦长公式将直线y=Kx+d代入椭圆b2x2+a2y2=a2b2b2+a2K2x2+2aKdx+a2d2-a2b2=0.若∆=4a2b2a2K2+b2-d2>0存在相交弦Ax1,y1,Bx2,y2,AB=x1-x22-y1-y22=1+K2x1-x2在b2+a2K2x2+2aKdx+a2d2-a2b2=0中，由求根公式x1-x2=∆b2+a2K2，AB=∆b2+a2K21+K2在具体问题，只要已知直线斜率和求得的代入后方程可直接写出相交弦长表达式，完全可以略去中间过程。上面的观点对于双曲线，抛物线和直线产生的
7、相交弦长也完全用类似的方法推导。只是对于双曲线，直线不能与渐近线平行；对于抛物线，直线不能与对称轴平行。圆锥曲线知识提要四．焦点三角形问题对于椭圆和双曲线存在焦点三角形对于焦点三角形问题，应注意两条：一是用定义：椭圆：r1+r2=2a；双曲线：r1-r2=2a。二是用正余弦定理：举例：已知椭圆x2a2+y2b2=1，(a>b>0)，点P位其上一点，点P对F1,F2张角（即∠F1PF2=θ），试求S∆PF1F2的θ表示式。解：由余弦定理：4c2=r12+r22-2r1r2cosθ=r1+r22-2r1r2-2r1r2cosθ=4a2-2r1r21+cosθ
8、=4a2-2r1r2∙2cos2θ2移项，消去4：r1r2cos2θ2=a2-c
