巧用焦半径公式[1]

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1、命题：P是椭圆＝1上一点，E、F是左、右焦点，e是椭圆的离心率，则（1），（2）。P是椭圆上一点，E、F是上、下焦点，e是椭圆的离心率，则（3）。证明：

2、PF2

3、=√[(x0-c)²+(y0)²]=√[x0²-2cx0+c²+b²(1-x0²/a²)]=√[(c²/a²)x0²-2cx+a²]=a-(c/a)x0说明：数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发.巧用焦半径公式能妙解许多问题，下面举

4、例说明。一、用于求离心率例分析：所以，所以。二、用于求椭圆离心率的取值范围例分析：由得故，即，又。所以。三、用于求焦半径的取值范围例分析：所以。四、用于求两焦半径之积例分析：由知，所以的最小值为，最大值为。五、用于求三角形的面积例分析：。由余弦定理得。解得所以六、用于求点的坐标例分析：及得，解得所以。七、用于证明定值问题例分析：化简得所以为定值。八、用于求角的大小例分析：所以所以。九、用于求线段的比。例分析：由两式相减并化简得。所以。所以。令，则，故所以，所以。如图设的坐标为，椭圆与双曲线的离心率分别为，则，，消去得，。不妨设，由成等差数列得，即。易知易知的最值不妨设为椭圆的左焦点，

5、而，则。故。设的坐标为，则如图，连，则，由焦半径公式得，即。若椭圆的焦点在轴上，则有。我们把椭圆上的点到两焦点的距离称为焦半径，而（或）、（或）称为焦半径公式。如图1，椭圆的准线方程为和。由椭圆的第二定义得，化简即得1如图为椭圆的两个焦点，以线段为直径的圆交椭圆于四点，顺次连结这四点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则离心率。2已知为椭圆的焦点，若椭圆上恒存在点，使，求离心率的取值范围。3若是椭圆上的点，为椭圆的焦点，求的取值范围。4若为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，求的最值。5若是椭圆上一点，为椭圆的左、右焦点，且，求的面积S。。6若为椭圆上的点，为椭圆的焦点，且，则的横坐标

6、为_________。由，，7已知为椭圆上两点，为椭圆的顶点，F为焦点，若成等差数列，求证：为定值。，8如图3，设椭圆与双曲线有公共焦点，为其交点，求。9过椭圆的左焦点作与长轴不垂直的弦的垂直平分线交轴于，则。4，设的坐标分别为，AB的中点为，则。AB的垂直平行线方程为N的坐标为若椭圆的焦点为，离心率为为椭圆上任意一点，则有。例1已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，F1（-c,0）和F2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：

7、PF1

8、=a+；

9、PF2

10、=a-.【分析】可用距离公式先将

11、PF1

12、和

13、PF2

14、分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y”即可.【解答】由两点间距离公式，可知

15、PF1

16、

17、=(1)从椭圆方程解出(2)代（2）于（1）并化简，得

18、PF1

19、=(-a≤x≤a)同理有

20、PF2

21、=(-a≤x≤a)【说明】通过例1，得出了椭圆的焦半径公式r1=a+exr2=a-ex(e=)从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P（x,y）横坐标的一次函数.r1是x的增函数，r2是x的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y轴，关于原点）.（二）、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.

22、椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可.例2．P(x,y)是平面上的一点，P到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离的和为2a（a>c>0）.试用x，y的解析式来表示r1=

23、PF1

24、和r2=

25、PF2

26、.【分析】问题是求r1=f（x）和r2=g（x）.先可视x为参数列出关于r1和r2的方程组，然后从中得出r1和r2.【解答】依题意，有方程组②-③得代①于④并整理得r1-r2=⑤联立①，⑤得【说明】椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c而无b，其基础性显然.二、焦半径公式与准线的关系用椭圆的第二

27、定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式.如图右，点P（x，y）是以F1（-c,0）为焦点，以l1：x=-为准线的椭圆上任意一点.PD⊥l1于D.按椭圆的第二定义，则有即r1=a+ex,同理有r2=a-ex.对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线缺乏定义的“客观性”.因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.例3．P（x，y）是以F1（-c，0），F2（c，0）为焦点，以距离之和为2a的椭圆上任意一点.直线l为x=-，PD1⊥l