兰州大学姜孟瑞电动力学 2-1 标势及其方程.ppt

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1、本章研究的主要问题：本章内容：电磁场的基本理论应用到最简单的情况：电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，求解静电场。第二章静电场1.引入标势及其微分方程和边值关系2.唯一性定理3.分离变量法4.镜像法5.格林函数法6.电多级矩本章具体内容：§2.1静电场的标势及其微分方程若场与时间无关所以静电场的理论基础就是：静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于无旋性，电场强度E可以用一个标量场的梯度来表示，和力学中用势函数描述保守力场的方法一样。一、静电场的标势1.电势差和电

2、势所以，静电场对电荷作功与路径无关。设C1和C2为连接P1和P2点的两条不同路径，则将单位正电荷由P1点移到P2点，电场对它所作的功为：这功就定义为P1和P2两点之间的电势差。即如果，则和分别为P1点和P2点的电势。所以任意一点P的电势为注意：(1)由定义，只有两点的电势差才有物理意义，某点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。(2)某点电势的具体数值与零势点的选择有关，所以必须指明零势点的位置。(3)零势点的选择是任意的，在电荷分布于有限区域的情况下，可以选无穷远的电势为零。(4)一个具体问题中只能选一个零势点。2.电势与

3、电场强度的关系(1)任意一点P的电势给出了电势与电场强度的积分关系，例如：真空中点电荷激发的电场强度为所以，若取无限远处电势为零。则任意一点的电势为：同样，点电荷组产生的电势为：连续分布的电荷系统：所以由以上讨论可知，若空间中所有电荷分布都给定，则电场强度和电势均可求出。但实际情况往往并不是所有电荷都能预先给定，因此，必须电荷与电场相互作用的微分方程。(2)电势与电场强度的微分关系由可得：而二、静电势的微分方程和边值关系这就是泊松方程。其中ρ为自由电荷密度。1.泊松（Poisson)方程在简单介质中有：将上式代入得：泊松方

4、程是静电势满足的基本微分方程。给出边界条件就可以确定电势的解。在数学上这称为边值问题。2.边值关系将电场的边值关系在两介质界面上，电势必须满足边值关系。化为用电势表示的边值关系。如图把电荷沿法线方向移动时，切线分量不做功。沿法线方向做功为零。该式与等价。将代入另一边值关系得：即：n从1指向2!①导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上；导体有它的特殊性，在导体表面上的边值关系有它特点：设导体表面所带电荷面密度为σ，设它外面的介质电容率为ε，导体表面的边界条件为2.导体表面上的边值关系②导体内部电场为零；③导体表面上电场必沿

5、法线方向，因此导体表面为等势面，整个导体的电势相等。常量场的总能量可以用电荷和电势表示，在线性介质中静电场的总能量为：三、静电场的能量所以由和得式中右边第二项是散度的体积分，它可以化为面积分：所以积分区域V为ρ≠0的区域。注意：(1)上式只能用于计算静电场的总能量。(2)不是能量密度。解：例1求均匀电场E0的电势。均匀电场每一点强度E0相同，其电场线为平行直线。选空间任一点为原点，并设该点上的电势为φ0，那么任一点P处的电势为其中x为P点的位矢。注意均匀电场可以看作由无穷大平行板电容器产生，其电荷分布不在有限区域内，因此不

6、能选无穷远电势为零。若选ϕ0=0，则有例2解：均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为τ，求电势。如图，设场点P到导线的垂直距离为R，电荷元τdz,到P点的距离为积分结果无穷大，无穷大的出现是由于电荷不是分布于有限区域内。则计算两点P和P0的电势差可以不出现无穷大。设P0点与导线的垂直距离为R0，则P点和P0点的电势差为则若选P0点为参考点，规定，取的负梯度得：所以例3求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量。整个导体为等势体,导体球的电荷分布于球面上，由书中（1.14）式最方便。球面上的电势为解：因此静电场总能量为静电场总

7、能量也可以由书中（1.13）式求出。因为球内电场为零，故只须对球外积分作业：1.