高二数学竞赛班讲义组合.doc

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1、高一数学竞赛班二试第二讲抽屉原理染色方法班级姓名一、知识要点：1．第I型抽屉原理把个物体放入个抽屉，则至少有一个抽屉的物品不少于个，其中2．第II型抽屉原理把个物体放入个抽屉，则至少有一个抽屉的物品不多于个，其中3．运用抽屉原理的关键是构造恰当的“抽屉”和“物品”二、经典例题例1．（1953年美国普特南数学竞赛题）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证：无论怎样染，总存在同色三角形。例2．(第6届国际数学奥林匹克试题)有17位科学家，其中每一个人和其他所有人的都通信，他们的通信中只讨论三个题目中

2、的一个。求证：至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目.8例3．（首届全国中学生数学冬令营试题）能否把1，1，2，2，3，3，…，1986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个1986、之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论.例4．（2010年联赛加试第四题）（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值和两个数中的一个，同时在每个顶点处涂红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同。问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？8二、精选习题1．有九名数学家，每人至多会讲三种语言，每三名中

3、至少有2名能通话，那么其中必有3名能用同一种语言通话.2．如果把上题中的条件9名改为8名数学家，那么，这个结论还成立吗？为什么？3．（1966年波兰数学竞赛题）大厅中会聚了100个客人，他们中每人至少认识67人，证明在这些客人中一定可以找到4人，他们之中任何两人都彼此相识.84． （首届全国数学冬令营试题）用任意方式给平面上的每一个点染上黑色或白色.求证：一定存在一个边长为1或的正三角形，它三个顶点是同色的.5．对平面上一个点，任意染上红、蓝、黑三种颜色中的一种。证明：平面内存在端点同色的单位线段。6．设为实数，满足，求证：对于每一个整数，存在不全为零的整数，使得，并且。8

4、第二讲抽屉原理例1．证明 设A、B、C、D、E、F是所给六点.考虑以A为端点的线段AB、AC、AD、AE、AF，由抽屉原则这五条线段中至少有三条颜色相同，不妨设就是AB、AC、AD，且它们都染成红色.再来看△BCD的三边，如其中有一条边例如BC是红色的，则同色三角形已出现（红色△ABC）；如△BCD三边都不是红色的，则它就是蓝色的三角形，同色三角形也现了.总之,不论在哪种情况下,都存在同色三角形.如果将例4中的六个人看成例5中六点,两人认识的连红线,不认识的连蓝线,则例4就变成了例5.例5的证明实际上用染色方法给出了例4的证明.例2．(第6届国际数学奥林匹克试题)有17位科

5、学家,其中每一个人和其他所有人的人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目.证明 用平面上无三点共线的17个点A1,A2,…，A17分别表示17位科学家.设他们讨论的题目为x,y,z,两位科学家讨论x连红线,讨论y连蓝线,讨论z连黄线.于是只须证明以这17个点为顶点的三角形中有一同色三角形.考虑以A1为端点的线段A1A2,A1A3,…，A1A17，由抽屉原则这16条线段中至少有6条同色，不妨设A1A2，A1A3，…，A1A7为红色.现考查连结六点A2，A3，…，A7的15条线段，如其中至少有一条红色线段，则同色（红色）三角形已出现；如没

6、有红色线段，则这15条线段只有蓝色和黄色，由例5知一定存在以这15条线段中某三条为边的同色三角形（蓝色或黄色）.问题得证.上述三例同属图论中的接姆赛问题.在图论中,将n点中每两点都用线段相连所得的图形叫做n点完全图,记作kn.这些点叫做“顶点”，这些线段叫做“边”.现在我们分别用图论的语言来叙述例5、例6.定理1 若在k6中，任染红、蓝两色，则必有一只同色三角形.定理2 在k17中,任染红、蓝、黄三角，则必有一只同色三角形.（2）点染色.先看离散的有限个点的情况.例3．（首届全国中学生数学冬令营试题）能否把1，1，2，2，3，3，…，1986，1986这些数排成一行，使得两

7、个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个1986、之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论.证明 将1986×2个位置按奇数位着白色，偶数位着黑色染色，于是黑白点各有1986个.8现令一个偶数占据一个黑点和一个白色，同一个奇数要么都占黑点，要么都占白点.于是993个偶数，占据白点A1=993个，黑色B1=993个.993个奇数，占据白点A2=2a个，黑点B2=2b个，其中a+b=993.因此，共占白色A=A1+A2=993+2a个.黑点B=B1+B2=993+2b个，由于a+b=993（非偶数！）∴a≠