高等数学不定积分的计算教学ppt.ppt

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1、第四章不定积分第一节不定积分的概念第二节不定积分的计算第一节不定积分的概念一.换元积分法二.分部积分法本节主要内容:(一)第一类换元积分法(二)第二类换元积分法一.换元积分法(一)第一类换元积分法(凑微分法)引例:求导数验证结果求导数验证结果解决方法利用复合函数的中间变量,进行换元.说明结果正确将上例的解法一般化:设则如果（可微）将上述作法总结成定理,使之合法化,可得——换元法积分公式定理4.2.1设f(u)具有原函数F(u),(u)是连续函数,那么难易使用此公式关键在于将要求的积分转化为说明例2计算解:原式我们总结出凑微分法求不定积分的情况

2、如下:Ⅰ.被积函数是一个复合函数与公式作对比,公式中自变量x变成了ax+b的形式,这时设ax+b为中间变量，例3计算1.被积函数中含有两个多项式,其中一个多项式的次数比另一个多项式的次数高一次，设高一次的多项式为中间变量，目的是约去另一个因式.Ⅱ.被积函数是两个函数乘积形式(1)原式例3计算(2)原式例4计算2被积函数中,其中一部分函数“正好”是另一部分函数的导数.例5计算例4计算原式2、被积函数中,其中一部分函数“正好”是另一部分函数的导数。例5计算原式例6计算例6计算原式第一类换元积分法（凑微分法）是一种非常有效的积分法。首先，必须熟悉基本积

3、分公式，对积分公式应广义地理解，如对公式，应理解为,其中u可以是x的任一可微函数;其次，应熟悉微分运算，针对具体的积分要选准某个基本积分公式，凑微分使其变量一致.常用的凑微分形式有:例7计算例7计算例7计算例7计算例7计算例7计算例7计算解法一例7计算解法二例7计算例8计算有理分式积分例8计算注意：分母因式分解后拆项练习求例8计算练习求例8计算注意：分母凑完全平方练习求例8计算注意：分子比分母少一次例8计算例8计算例8计算例8计算注意：分式拆项是常用的技巧(1)有理分式积分例8计算注意：分母因式分解后拆项练习求原式例8计算练习求例8计算注意：分母

4、凑完全平方练习求例8计算练习求注意：分子比分母少一次例8计算例8计算例8计算(2)被积函数含有ex例9例9例9例10被积函数含有三角函数注意：偶次方用倍角公式降次例10注意：拆开奇次项凑微分例10注意：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例10例10例10例10(3)被积函数含有三角函数注意：偶次方用倍角公式降次例10注意：拆开奇次项凑微分例10注意：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例10例10例10例11计算例12例11计算例12第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法,不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，只

5、能具体问题具体分析.要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子.练一练练一练(二)第二类换元积分法定理4.2.2函数xφ(t)有连续的导数且φ(t)0，又f[φ(t)]φ(t)有原函数F(t)，则其中tφ-1(x)是xφ(t)的反函数.1.根式代换Ⅰ.被积分函数中含有（根号里是一次式）类型--------根式代换法，令例1计算例2计算例3计算例4计算例1计算令则于是例2计算令则于是例3计算令则于是例4计算令则于是练一练2.三角代换Ⅱ.被积分函数中含有类型---

6、---三角代换法例5计算例6计算例7计算例5计算令则xat把变量t换为x.为简便起见,画一个直角三角形，称它为辅助三角形，如图.例6计算令则根据作辅助三角形,如图.axt其中C=C1-lna.例7计算令则根据作辅助三角形，如图.axt其中C=C1–lna.第二类换元积分法是基本积分方法之一,使用第二换元积分法的关键在于选择适当的变换,消除被积式中的根号,最常见的形式有:（1）被积函数中含有：设（2）被积函数中含有：设,n为n1、n2的最小公倍数（3）被积函数中含有：设（4）被积函数中含有：设（5）被积函数中含有：设在作三角替换时,可以利用直角三角

7、形的边角关系确定有关三角函数的关系,以返回原积分变量.例8计算解法一三角代换法令x=tant，于是得则dx=sec2tdt，根据tant=x，作辅助三角形，得=ln

8、csct–cott

9、+C1xt解法二根式代换法于是有练一练二.分部积分法设函数u=u(x),v=v(x)具有连续导数:u=u(x),v=v(x)，根据乘积微分公式于是有即d(uv)=udv+vdu，分部积分公式难易说明：1.分部积分法适合求两个不同类型函数乘积的积分.2.用法：把被积函数f(x)分解为两部分因式相乘的形式,其中一部分因式看作u,另一部分因式看作v’,而后套用公

10、式,把求不定积分的问题转化为求不定积分的问题.3.关键:u,v选择要得当例1计算比更难求失败！可见运用分部积分公式的关键是恰当选择u，