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《《高等数学教学课件汇编》第四章1 不定积分及其计算.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一节机动目录上页下页返回结束不定积分及其计算第四章一、不定积分的概念定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足在区间I上的一个原函数.则称F(x)为f(x)定理1.原函数都在函数族(C为任意常数)内.证:1)又知故即属于函数族机动目录上页下页返回结束即定义2.在区间I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;若则(C为任意常数)C称为积分常数不可丢!例如,记作机动目录上页下页返回结束不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.机动目录上页下页返回结
2、束的积分曲线.例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为机动目录上页下页返回结束二、基本积分表从不定积分定义可知:或或利用逆向思维(k为常数)机动目录上页下页返回结束或或机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例3.求解:原式=例4.求解:原式=机动目录上页下页返回结束二、不定积分的性质推论:若则机动目录上页下页返回结束例5.求解:原式=机动目录上页下页返回结束例6.求解:原式=例7.求解:原式=机动目录上页下页返回结束例8.求解:原
3、式=机动目录上页下页返回结束内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质机动目录上页下页返回结束思考与练习机动目录上页下页返回结束1.求下列积分:提示:2.求不定积分解：机动目录上页下页返回结束第二类换元法第一类换元法三、不定积分的换元积分法基本思路机动目录上页下页返回结束设可导,则有第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)机动目录上页下页返回结束例1.求解:令则故原式
4、=注:当时机动目录上页下页返回结束例2.求解:令则想到公式机动目录上页下页返回结束例3.求想到解:(直接配元)机动目录上页下页返回结束例4.求解:机动目录上页下页返回结束类似例5.求解:∴原式=机动目录上页下页返回结束常用的几种配元形式:万能凑幂法机动目录上页下页返回结束例6.求解:原式=机动目录上页下页返回结束例7.求解:原式=例8.求解:原式=机动目录上页下页返回结束例9.求解法1解法2两法结果一样机动目录上页下页返回结束例10.求解法1机动目录上页下页返回结束解法2同样可证或机动目录上页下页返回结束例11.求解:原式=机动目录上页
5、下页返回结束例12.求解:机动目录上页下页返回结束例13.求解:原式=机动目录上页下页返回结束分析:小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法机动目录上页下页返回结束利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?机动目录上页下页返回结束2.求提示:法1法2法3作业目录上页下页返回结束第二类换元法机动目录上页下页返回结束第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，定理2.设是单调可导函数,且具有原函数
6、,证:令则机动目录上页下页返回结束则有换元公式例14.求解:令则∴原式机动目录上页下页返回结束例15.求解:令则∴原式机动目录上页下页返回结束例16.求解:令则∴原式机动目录上页下页返回结束令于是机动目录上页下页返回结束说明:被积函数含有时,除采用采用双曲代换消去根式,所得结果一致.或或机动目录上页下页返回结束三角代换外,还可利用公式原式例17.求解:令则原式当x<0时,类似可得同样结果.机动目录上页下页返回结束小结:1.第二类换元法常见类型:令或令或令或机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束2.常用基本积分公式的补充(5)分
7、母中因子次数较高时,可试用倒代换令机动目录上页下页返回结束解:原式机动目录上页下页返回结束例18.求例19.求解:例20.求解:原式=机动目录上页下页返回结束例21.求解:原式例22.求解:令得原式机动目录上页下页返回结束例23.求解:原式令例16目录上页下页返回结束由导数公式积分得:分部积分公式或1)v容易求得;容易计算.机动目录上页下页返回结束四、不定积分的分部积分法例1.求解:令则∴原式思考:如何求提示:令则原式机动目录上页下页返回结束例2.求解:令则原式=机动目录上页下页返回结束例3.求解:令则∴原式机动目录上页下页返回结束例4
8、.求解:令,则∴原式再令,则故原式=说明:也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.机动目录上页下页返回结束解题技巧:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为例5.求解:令,则原式=
