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1、一维下料模型一.问题设有一维下料问题：某类线形钢材其原材料长度为L，现要为m种零件的毛坯下料，共有n个下料方案，其中第j个方案使得每根原材料可获得第i种零件的毛坯aij个，第i种零件的毛坯长度为li，共需bi个.问应如何下料？这类问题因目标不同，而所建模型就有所不同。二．需求约束的表达对于此问题,目前不少书或论文是用等式来描述需求约束的,即其中xj表示按第j个切割方案下料时所耗用的原材料数量(j=1,2,…,n).它们是非负整数.从而这种约束常常没有可行解.为保证模型有非负整数可行解,需求约束应该用不等式来描述：
2、结论:需求约束不要用等式,而应该用不等式来描述.三．以余料总长最短为目标的模型第j个下料方案每根原材料的余料长度为设s表示余料总长,则可得此问题的模型如下：(P1)j=1,2,…,n.四.以耗用原材料总数最少为目标的模型设f表示耗用的原材料总数,则可得此问题的模型如下：(P2)例1钢管零售商有一批钢管的原料长度都是19m,现有一客户需买50根4m,20根6m,15根8m这种钢管,应如何下料?解:可先设计出如下7个下料方案切割方案4m6m8m余料长度123456743211000102130001010231331
3、13需求量502015若用模型(P1),则得解得:X=(0,12,0,0,15,0,0)T,s=27,即方案2用12根,方案5用15根,共耗用27根原料,余料总长27m.若用模型(P2),则得解得:X=(0,10,5,0,10,0,0)T,f=25,即方案2用10根,方案3用5根,方案5用10根,共耗用25根原料,余料总长35m.结论:余料总长最短并不等价于耗用原材料总数最少.即使余料总长为0,耗用原材料总数也未必是最少的.即要求余料总长最短并不一定能省料.五．以产品利润最大为目标的模型现有一批钢管,可用来生产出
4、一种钢架毛坯料配套出售,希望获利最大.设R---总利润p---产品售价M---现有原料根数y---产出产品数s---每根原料的成本t---加工每个截口的费用xj---第j个“截管方案”所用原料根,(j=1,2,…,n)cj---第j个“截管方案”的截口数bi---每套产品所需第i种零件数aij---第j个“截管方案”可截得的第i种零件数(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n).（P3）显然，零解是模型(P3)的一个可行解，又从约束条件和非负性可知，本模型的可行集是有界域中的整数点，故模型(P3)的可行集是非空有
5、限集，因此它必有最优解。优化模型如下：例２:现有一批长度规格为18m的原料钢管，共100根，打算用其制造一批钢架毛坯料销售，每个钢架需要4m和6m长的钢管分别为10根与5根.每个钢架毛坯料销售收入1350元，每根原料钢管成本210元，每个切口成本费用2元.解:截管方案有截管方案4m6m余料长度1234431001232020则利润可表示为从而，本问题的（P3）模型为求解得最优下料方案：所以，maxR=12610.即只需采用切割方案2与4,实际上只耗用原料84+14=98根,可得25套产品.获利12610元.六．避
6、免切割方案太多的模型当零件品种较多时,往往切割方案就有很多,从而模型的变量就有很多,比如,每根原料长20m,想截取2m,3m,4m,5m四种零件,就有51种切割方案.这等价于不等式有51组非负整数解.其中uj表示在一根原料上截得的第j种零件数量.往往切割方案太多时,我们只取较好的n个方案,设uij表示第i种零件用第j种切割方案在一根原料上截得的数量,最短的零件长度，其余符号同前,则以耗用原材料总数最少为目标的模型为：这里,假定数据均用整数.模型(P4)中uij与xj都是变量,故它是非线性整数规划.它无需预先设计切
7、割方案,(P4)的解就会给出切割方案.P(4)例3：设L=19m,l1=4m,l2=5m,l3=6m,l4=8m,b1=50,b2=10,b3=20,b4=15.T=4m求最省料的下料方案.解:只取较好的3个切割方案,由(P4)得解得:,f=28.注:本题可用EXCEL”规划求解”来解,求解时附加约束：可大大缩短时间.矩阵U的每列就是一个切割方案.
