线性代数第五章相似矩阵.ppt

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1、第五章相似矩阵第一节向量的内积一内积的定义和性质三正交向量组二向量的长度与夹角四应用举例五正交矩阵与正交变换一、内积的定义与性质1、定义设ｎ维实向量称实数为向量α与β的内积，记作注：内积是向量的一种运算,用矩阵或向量形式表示,有２、性质（1）对称性：（2）线性性：（3）正定性：１、长度的概念当且仅当时二、向量的长度与夹角令为ｎ维向量α的长度（模或范数）.特别长度为１的向量称为单位向量.（1）正定性：（2）齐次性：（3）三角不等式：２、性质（4）柯西－施瓦兹（Cauchy－Schwarz）不等式:当且仅当α与β的线性相关时，等号成立.注①当时

2、，②由非零向量α得到单位向量是α的单位向量.称为把α单位化或标准化.的过程３、夹角设α与β为ｎ维空间的两个非零向量，α与β的夹角的余弦为因此α与β的夹角为例解练习三、正交向量组1、正交当，称α与β正交，记作α⊥β。注①若　　，则α与任何向量都正交.②③对于非零向量α与β，2、正交组若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则这个向量组称为正交向量组，简称正交组.3、标准正交组由单位向量组成的正交组称为标准正交组.定理4、性质正交向量组必为线性无关组,但反之则不一定成立.定理若向量β与β与中每个向量都正交，则的任一线性组合也正交.5、正交基若

3、正交向量组则称为向量空间Ｖ上的一个正交基.为向量空间Ｖ上的一个基，6、标准正交基若标准正交组则称为向量空间Ｖ上的一个标准正交基.为向量空间Ｖ上的一个基，7、施密特（Schmidt）正交化法设是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单位向量，使与等价，此问题称为把这组基标准正交化.1）正交化令就得到Ｖ的一个标准正交向量组.Ｖ的一组标准正交基.如果上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.2）标准化令是Ｖ的一组基，则就是注则两两正交，且与等价.上述方法中的两个向量组对任意的与都是等价的.四、应用举例例1

4、证明：　中，勾股定理成立的充要条件是　　正交.解所以成立的充要条件是即　　正交.已知三维向量空间中，例2正交，试求是三维向量空间的一个正交基.解设则即例4已知向量求　的一个标准正交基.解设非零向量　　都于　正交，即满足方程或其基础解系为令1）正交化令2）标准化令五、正交矩阵和正交变换1、定义如果ｎ阶方阵A满足：则称Ａ为正交矩阵.则可表示为若Ａ按列分块表示为Ａ＝亦即其中①Ａ的列向量是标准正交组.的一个标准正交基.正交矩阵Ａ的ｎ个列（行）向量构成向量空间2、正交矩阵的充要条件②Ａ的行向量是标准正交组.注3、正交变换若Ｐ为正交矩阵，则线性变换ｙ=

5、Ｐｘ称为正交变换.设ｙ=Ｐｘ为正交变换，则有经正交变换后向量的长度保持不变,内积保持不变,注从而夹角保持不变.判断下列矩阵是否为正交矩阵.不是不是是是第二节方阵的特征值与特征向量一特征值与特征向量三应用举例二特征值和特征向量的性质四小结课前复习１、内积２、长度３、夹角４、正交５、施密特（Schmidt）正交化法６、正交矩阵和正交变换其中Ｐ为正交矩阵．正交变换的优良特性：内积不变夹角不变长度不变一、特征值与特征向量的概念定义Ａ为ｎ阶方阵，λ为数，为ｎ维非零向量，若则λ称为Ａ的特征值，称为Ａ的特征向量．（１）注②并不一定唯一；③ｎ阶方阵Ａ的特征

6、值，就是使齐次线性方程组①特征向量　　，特征值问题只针对与方阵；有非零解的λ值，即满足的λ都是方阵Ａ的特征值．定义称以λ为未知数的一元ｎ次方程为Ａ的特征方程．定义称以λ为变量的一元ｎ次多项式为Ａ的特征多项式．定理设ｎ阶方阵　　　　的特征值为则证明①当　　　　　是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项式可分解为令得即证明②因为行列式它的展开式中，主对角线上元素的乘积是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至多含ｎ－２个主对角线上的元素，含　　　　的项只能在主对角线上元素的乘积项中．故有比较①，有因此，特征多项式中定义方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为

7、方阵Ａ的迹.二、特征值和特征向量的性质推论１ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零.若数λ为可逆阵的Ａ的特征值，则　为　的特征值．推论２则　为　的特征值．推论３则　　为　的特征值．推论４则　为　的特征值．推论５特别单位阵Ｅ的一个特征值为１．记为三、应用举例１、若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则的一个特征值为（　　）２、证ｎ阶方阵Ａ的满足　　　，则Ａ的特征值为０或１．３、三阶方阵Ａ的三个特征值为１、２、０，则（　　）４、求下列方阵的特征值与特征向量解四、特征向量的性质定理互异特征值对应的特征向量线性无关。定理互异特征值对应的各自线性无关的特征向量

8、并在一起，所得的向量组也线性无关。定理ｎ阶方阵Ａ的任一　重特征值对应的线性无关的特征向量的个数不超过．第三节矩阵相似对角化一定义三相似对角化二性质四应用举例一、定义定义设Ａ、Ｂ都