高考一轮复习课件：平面向量基本定理及坐标表.ppt

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1、平面向量的基本定理及坐标表示高三第一轮复习（第一课时）(1)定义已知两个向量a和b，作OA=a,OB=b，则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角(如图).非零考点分析1.两个向量的夹角(2)范围向量夹角θ的范围是,a与b同向时,夹角θ=__________;a与b反向时,夹角θ=.0°≤θ≤180°0°180°90°a⊥b不平行(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是,则a与b垂直,记作.2.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1

2、,λ2,使a=.其中,不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组.(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量,叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐标表示λ1e1+λ2e2基底互相垂直①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底.对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x,y，使得a=xi+yj.把有序数对叫做向量a的坐标,记作a=,其中叫做a在x轴上的坐标,叫做a在y轴上的坐标.a=xi+yja=(x,y),(x,y)(x,y)(x,y)向量OA的坐标(x,y)x

3、y②设OA=xi+yj,则就是终点A的坐标,即若OA=(x,y),则A点坐标为,反之亦成立(O是坐标原点).3.平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算(2)向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=（x2-x1,y2-y1)，即一个向量的坐标等于该向量的坐标减去的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线a=.x1y2-x2y1=0终点始点λb如右图，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC.AM与BN相交

4、于点P，求AP:PM的值.【分析】本题可先利用平面向量基本定理设出，然后利用共线向量的条件列出方程组，从而确定参数的值.考点一平面向量基本定理的应用题型分析【解析】设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2.∵A,P,M和B,P,N分别共线,∴存在实数λ,μ使AP=λAM=-λe1-3λe2,BP=μBN=2μe1+μe2,故BA=BP-AP=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.而BA=BC+CA=2e1+3e2,λ+2μ=2λ=3λ+μ=3,μ=.故AP=AM,即A

5、P:PM=4:1.由基本定理，得解得【评析】（1）充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线.注意方程思想的应用.（2）应注意平面几何中，平行线截线段成比例在此类问题中的应用.（3）用基底表示向量也是用向量解决问题的基础.应根据条件灵活应用，熟练掌握.＊对应演练＊设OA,OB不共线，P点在AB上,求证:OP=λOA+μOB且λ+μ=1(λ,μ∈R).证明:∵P点在AB上，∴AP与AB共线.∴AP=tAB(t∈R).∴OP=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB.令λ=1-t，μ

6、=t，则有OP=λOA+μOB,λ+μ=1(λ,μ∈R).已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求M,N的坐标及向量MN的坐标.【分析】利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解.考点二平面向量的坐标运算【解析】由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-

7、15-3-24)=(6,-42).(2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),-6m+n=5m=-1-3m+8n=-5,n=-1.解得∴【评析】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.(3)∵CM=OM-OC=3c,∴OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).∴M(0,20).又∵CN=ON-OC=-2b,∴ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),∴N(9,2)

8、.∴MN=(9,-18).＊对应演练＊已知A(1,0),B(0,2),C(-1,-2),求以A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.设D的坐标为(x,y).(1)若是ABCD,则由AB=DC得(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),即(-1,2)=(-1-x,-2-y),-1-x=-1-2-y=2,∴x=0,y=-4.∴