资源描述：
《现在数值分析课件科大 现代数值分析14 线性代数方程组求解.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三章线性代数方程组的迭代解法§1向量和矩阵序列的极限§2基本迭代法§3迭代法的收敛性§4最速下降法与共轭梯度法§3.1向量和矩阵序列的极限1向量和矩阵序列的极限概念定义1中向量序列满足则称向量序列 收敛到向量,记为定义2中矩阵序列满足则称矩阵序列收敛到矩阵,记为注向量和矩阵序列的极限等价于其中分量元素的极限．§3.1LimitofVectorandMatrixSequence２向量序列和矩阵序列收敛的等价性定理１设 ， ，则定理２设 ， ，则有定理３的充分必要条件是对任何
2、有定理４设 ，则 的充分必要条件为 ，其中§3.1LimitofVectorandMatrixSequence证明因为因此§3.1LimitofVectorandMatrixSequence其中故练习题试证明定理１，２，３§3.2基本迭代法基本思想产生迭代序列由迭代格式最后证明（ 是 的解）等价变形§3.2IterationMethod记号§3.2IterationMethod１.Ｊ－迭代法§3.2IterationMethod２.ＧＳ－迭代法§3.2IterationMethod３.ＳＯＲ－迭代法在Ｇ
3、Ｓ－迭代法中，第i个分量可改写为可以认为是 在 的基础上加了一个校正量因此有ＳＯＲ－迭代法§3.2IterationMethod§3.2IterationMethod４.ＳＳＯＲ－迭代法在ＳＯＲ－迭代法中，新向量的分量计算依次第１个分量到第n个分量：这个次序也可以倒过来，即新向量的分量计算依次第n个分量到第１个分量：§3.2IterationMethod这两种次序的ＳＯＲ－迭代过程交叉使用，就有§3.2IterationMethod§3.3迭代法的收敛性预备知识:1.矩阵严格(弱)对角占优矩阵按行严格(弱)对角占优:矩阵按
4、列严格(弱)对角占优:§3.2ConvergenceCriterionofIterationMethod2.不可约矩阵如果矩阵不能经过行置换和相应的列置换化为其中为r阶方阵,为n-r阶方阵引理1如果矩阵A为按行(或按列)严格对角占优矩阵,或矩阵A为按行(或按列)弱对角占优且不可约,则有,且A为非奇异矩阵.引理2设矩阵,下面三条件等价:(1)对任意,有(2)(3)A的谱半径§3.2ConvergenceCriterionofIterationMethod引理3如果矩阵的谱半径,则有(I-A)为非奇异.J-迭代法:G-迭代法:SO
5、R-迭代法:SSOR-迭代法:§3.2ConvergenceCriterionofIterationMethod收敛的一般性结果:定理1迭代格式对任意初始值,有下列收敛结果:(1)迭代格式收敛的充要条件为谱半径;(2)迭代格式收敛的充分性条件为范数.定理2对任意矩阵,都有.定理3若对某一种范数有,则迭代格式对任意初始向量都收敛.§3.2ConvergenceCriterionofIterationMethod(1)定理4如果方程有唯一解,且,(2)J-迭代法收敛性定理:定理5(1)如果矩阵A为按行(或按列)严格对角占优,或矩阵
6、A为按行(或按列)弱对角占优且不可约,则J-迭代法收敛.(2)如果矩阵A为对称定正矩阵,则J-迭代法收敛的充要条件为2D-A为对称定正矩阵.则由迭代格式产生的向量序列满足如下对误差估计:§3.2ConvergenceCriterionofIterationMethodG-迭代法收敛性定理:SOR-迭代法收敛性定理:定理6(1)如果矩阵A为按行(或按列)严格对角占优,或矩阵A为按行(或按列)弱对角占优且不可约,则G-迭代法收敛.(2)如果矩阵A为对称定正矩阵,则G-迭代法收敛.定理7如果SOR-迭代法收敛,则松弛因子.定理8(1
7、)如果矩阵A对称定正,则松弛因子时,SOR-迭代法收敛;(2)若A为按行(或按列)严格对角占优,且,则SOR-迭代法收敛.§3.2ConvergenceCriterionofIterationMethodSSOR-迭代法收敛性定理:定理9如果矩阵A对称定正,则松弛因子时,SSOR-迭代法收敛.例设有线性代数方程组:试证明此方程组用J-迭代法求解时对任意初始向量收敛,而用GS-迭代法求解时不是对任意初始向量收敛,取,并用J-迭代法进行求解,要求.§3.2ConvergenceCriterionofIterationMethod解
8、对此方程组,由于(1)用J-迭代法求解故用J-迭代法求解时对任意初始值都收敛.(2)用GS-迭代法求解§3.2ConvergenceCriterionofIterationMethod故用GS-迭代法求解发散.这种发散的含义:用G-迭代法求解时并不是对任意初始值都发散,即对有
