线性代数ppt第四章 第二节 向量组的线性相关性.ppt

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1、第二节向量组的线性相关性注意定义4则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．定理　向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．证明充分性设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.即有三、线性相关性的判定故因这个数不全为0，故线性相关.必要性设线性相关，则有不全为0的数　　　　　　使因中至少有一个不为0，不妨设　　　则有即能由其余向量线性表示.证毕.线性相关性在线性方程组中的应用结论定理2下面举例说明定理的应用.证明（略）解例4解例5分析证一证二把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式记作B

2、=AK.设Bx=0,以B=AK代入，得A(Kx)=0.因为矩阵A的列向量组线性无关，所以可推知Kx=0.又因,知方程Kx=0只有零解x=0.所以矩阵B的列向量组线性无关.证三把已知条件合写成记作B=AK.因,知K可逆，根据前面所述矩阵秩的性质4知R(B)=R(A)，因为A的列向量组线性无关，根据定理4知，B的3个列向量线性无关，即列向量线性无关。本例给出三种证法，这三种证法都是常用的。证一的关键步骤是：按定义4把证明向量组线性无关转化为证明齐次线性方程组没有非零解。证二的证明过程与证一相同，只是在叙述时改用矩阵形式。证三

3、也采用矩阵形式，并用了矩阵的秩的有关知识，还用了定理4，从而可以不涉及线性方程而直接证得结论。线性相关性是向量组的一个重要性质，下面介绍与之有关的一些简单的结论。定理5证明说明说明例7设向量组a1,a2,a3线性相关，向量组a2,a3,a4线性无关，证明a1能由a2,a3线性表示；a4不能由a1,a2,a3线性表示。证因a2,a3,a4线性无关，由定理5知a2,a3线性无关，而a1,a2,a3线性相关，由定理5知a1能由a2,a3线性表示。用反证法.假设a4能由a1,a2,a3表示，而由知a1能由a2,a3表示，因此a4

4、能由a2,a3线性表示，这与a2,a3,a4线性无关矛盾。