应用时间序列分析教学全套课件史代敏谢小燕 第四章　平稳时间序列模型预测.ppt

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1、第四章平稳时间序列模型预测时间序列分析预测的重要性时间序列分析的一个重要的目的是预测其未来值，就是根据以往积累的数据进行分析，先确定其时序模型的形式，然后对未来可能出现的结果进行预测。预测是计量经济分析的重要部分，对某些人来说也许是最重要的部分。概括地说，在计量经济学中依据时间序列数据进行经济预测的方法有四种：(1)单一方程回归模型；(2)联立方程回归模型；(3)自回归移动平均模型；(4)向量自回归模型。1第一节预测准则称为的预测值或的h步预测值怎样选取预测函数呢？直观的想法是所选取的预测函数应能够使预测误差尽可能的小。这就需要确定一种准则，使得依据这种准则能衡量采用某种预测函数

2、所得的预测误差比采用别的预测函数所得的预测误差小。2一、从几何角度提出预测问题对在t+h的取值进行预测，我们所能利用的就是yt在t和以前时刻的取值所提供的信息,也就是说是的函数，我们知道最简单的函数是的线性函数，设为现在的问题是如何求出系数使得与最接近。3图4.1在平面M上的投影从几何图形来看，离yt+h最近的是向量yt+h在平面M上的投影。4二、求解正交投影基于直到时刻t的信息集对变量取值的预测记为，为获得此预测必需指明相应的损失函数(lossfunction)。一个十分方便的结果是选取平方损失函数，即选取，使其均方误差达到最小。容易知道，关于的条件期望是关于的最小均方误差预测

3、。这种预测具有许多优良性质，但其计算比较复杂。在许多的实际应用问题，我们更感兴趣于在的线性函数类中寻求的预测。5例如时，可选取：假定我们已求得之值，使得预测误差与无关即有成立则称(4.1)式为yt+1关于的线性投影。并记为6三、最小均方误差预测设随机序列适合一个ARMA模型，即在已知的条件下，很自然会考虑到的线性函数这是一种比较容易处理而在使用中最有广泛意义的情形。作为一个好的预测值，应该满足预测的误差越小越好，于是问题转化为求使与之间的误差最小。使预报的均方误差最小的称为线性最小均方预测。7综上可得，yt+h的线性最小均方误差预测为称(4.5)式为线性最小均方误差预测的传递函数

4、形式。我们知道这是可以实现的，因为一个系统的参数完全可以由其格林函数确定。预测的残差为预测误差方差为8第二节ARMA模型预测前面我们对最小均方预测的基本原理进行了讨论，所有的结论都是在平稳的条件下得到的。下面我们求ARMA模型的最小均方预测。一、AR(p)模型的预测考虑一个AR(2)模型其向前一步的预测为一步预测的误差方差为9向前二步的预测为注意到故二步的预测误差的方差为10更一般的情形，遵从AR(p)的序列满足随机差分方程由差分方程很容易得到AR(p)的最小均方误差预测公式为再根据(4.9)式，AR(p)模型的递推预报公式为：………………..11…………….由上式可以看出，AR

5、(p)模型的最小均方预测公式比较简单，只要知道这p个历史值便可以得到任意步长的平稳线性最小均方预测。正是因为AR模型的建模与预测的简单性，所以它成为预测问题中应用得最为广泛的时间序列模型。12二、MA(q)模型的最小均方预测对于MA(q)模型我们可以得到预测值的递推公式为分析预测公式(4.11)，可以看出MA模型的最佳预测具有以下两个特点：(4.11)13(1)MA(q)模型只能对未来进行q步预测，当h>q时，预测值为零(时间序列均值为零)；因此当模型阶数较低时，MA模型只能进行短期预测；(2)MA模型预测中使用的，其数据需要的全部历史数据迭代计算，并需要设的取值，由此可知这种处

6、理比较繁琐，有一定主观性，故不便应用。14设有MA(2)模型则有一步预测因而又由于，因此预测误差的方差等于。对于前两步预测易知预测误差为预测误差的方差为15类似可得三步预测的误差为预测误差的方差为与前三步预测相似，模型中已没有记忆对前四步预测有帮助。这时的预测值已经是这个系统的均值。即有其预测误差的方差为更一般的情况，对于一个MA(q)模型h步预测公式为16h步预测残差的方差为三、ARMA(p,q)预测对于一个ARMA模型，仿照AR和MA模型同样的步骤可以推得关于ARMA(p,q)模型的预测公式，……………..17………………..分析上面的公式可知，ARMA(p,q)模型的最佳计

7、算具有以下特点：(1)当时，预测计算公式中包含了…,这q个值，与MA模型的预测计算一样，需要由迭代计算出，因此ARMA模型的预测计算也非常繁琐；(2)当hq时，如果把看成h的函数(记为)，则预测公式是一个关于的齐次差分方程；因此，如同AR模型的最佳预测一样，也可以由齐次差分方程所确定。根据上面的分析可知，ARMA模型的最佳预测计算远较AR模型复杂，同时其建模过程也是繁琐的。19第三节案例分析【例4.1】基于批发价