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《线性代数 教学课件 ppt 作者 第三版 钱椿林电子教案 第2章.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2章矩阵2.1本章教学要求1．理解矩阵的概念；矩阵的秩的概念。2．熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律。3．熟练掌握矩阵的初等行变换。4．了解零矩阵、对角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵等特殊矩阵的概念及其性质。5．掌握可逆矩阵和逆矩阵的概念及其性质；矩阵可逆的充分必要条件。6．熟练掌握求逆矩阵的伴随矩阵法和初等行变换法。7．熟练掌握求矩阵的秩的初等行变换法。8．会进行矩阵的分块及其分块运算。重点：矩阵的乘法，逆矩阵的概念,矩阵的秩的概念，矩阵的初等行变换。难点：矩阵的乘法，求逆矩阵的伴随矩阵法和
2、初等行变换法。2.2本章主要内容2.2.1矩阵1.矩阵由mn个数或字母式(i=1,2…,m;j=1,2,…,n)排成的行列矩形阵表，称为矩阵。矩形阵表外用方括弧（或圆括弧）括起来，记作通常用大写字母A，B，C，…表示矩阵；称为矩阵A的第i行第j列的元素。有时为了标明一个矩阵的行数和列数，用或表示一个m行n列的矩阵。2.n阶方阵任一矩阵，当m=n时，称A为n阶方阵。即行数和列数相同的矩阵称为方阵。3.行矩阵当m=1时，矩阵A称为行矩阵，此时4.列矩阵当n=1时，矩阵A称为列矩阵，此时5.零矩阵当=0(i=1,
3、2…,m;j=1,2,…,n）时，称A为零矩阵，一般记为或O。即所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。请注意区别零矩阵与数字零在表示上与意义上的不同：对数字运算用数零，对矩阵运算用零矩阵。例如2.2.2同型矩阵若矩阵A和矩阵B的行数、列数分别相等，则称A，B为同型矩阵。2.2.3矩阵相等A＝B(i=1,2…,m;j=1,2,…,n）,其中A，B。例如设有矩阵A=,B=显然，矩阵A和矩阵B的行数和列数均相等，并且对应元素也相等，所以有A=B.2.2.4矩阵的加法C＝A＋B，其中。矩阵加法的性质:1.交换律A＋B＝B
4、＋A2.结合律A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C3.零矩阵性质O＋A＝A＋O＝A例2.2.1设A=B=求A+B.解A+B==2.2.5矩阵与数的乘法（矩阵的数乘）其中为任意实数。数乘矩阵的性质:1.分配律k(A+B)=kA+kB,(k+l)A=kA+lA2.结合律(kl)A=k(lA)=l(kA)3.1A=A,(-1)A=-A其中A、B为同型矩阵，k,l为任意常数。例2.2.2设A=求2A.解2A==2.2.6矩阵的乘法C＝AB,其中。矩阵乘法的性质：1.结合律（AB）C＝A（BC）其中A为矩阵，B为矩阵，C为
5、矩阵。2.数乘结合律k(AB)=(kA)B=A(kB)其中k为任意实数，A为矩阵，B为矩阵。3.左乘分配律A（B＋C）＝AB＋AC其中A为矩阵，B、C均为矩阵。4.右乘分配律（B＋C）A＝BA＋CA其中B、C均为矩阵，A为矩阵。注意：1.不是任意两个矩阵都能相乘的。只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时A与B才能相乘，简称为行乘列的法则；2.AB为矩阵，它的行数等于A的行数，它的列数等于B的列数；3.一般情况下ABBA，即矩阵乘法不满足交换律；4.若AO，BO，却有可能AB＝O,这种情况在数的乘法运算中
6、是不可能出现的。也就是说，一般情况下，矩阵的乘法不满足消去律。例2.2.3设A=B=求AB.解AB==例2.2.4设A是一个行矩阵，B是一个列矩阵，且A=B=求AB和BA.解AB==BA==2.2.7负矩阵设A，则称为A的负矩阵，记为-A=。负矩阵的性质：A－B＝A＋（－B）2.2.8单位矩阵设有n阶方阵A，若它的主对角线上的元素全为1，其余元素全部是零，则称A为n阶单位矩阵，记为E或E。单位矩阵的性质：1.EA=A,AE=A2.当A是n阶方阵时，EA=AE=A显然，单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1在
7、数乘中的作用。2.2.9可交换矩阵若AB＝BA时，称矩阵A与B可交换。例如设A=B=则AB==BA==所以，AB=BA，称A与B是可交换矩阵.2.2.10左零因子、右零因子当AO,BO且AB＝O时，称矩阵A是B的左零因子，矩阵B是A的右零因子。注意：一个非零矩阵A如果有左（或右）零因子，那么它的左（或右）零因子并不是惟一的。例如设A=B=则AB==称矩阵A是B的左零因子，矩阵B是A的右零因子。2.2.11矩阵A的m次幂设A为n阶方阵，m为正整数，则称A为方阵A的m次幂。显然有,其中k，l为任意非负整数。注意
8、：由于矩阵乘法一般地不满足交换律,一般地(k为正整数)。规定：n阶非零矩阵A的零次幂为单位矩阵E，即A=E。例2.2.5计算解设A==+=E+B其中B=显然B==由此可知，当n≥2时，B=且EB===BE即E与B可交换，所以可以用二项定理，得A=(E+B)=E+nEB+…=E+B=+=2.2.12转置矩阵将矩阵的行、列互换得到的矩阵，称为A的转置矩阵，记为A，即其中的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素，
