概率论与数理统计第4章.ppt

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1、第4章：随机变量的数字特征§1.数学期望§2.方差§3.几种重要随机变量的数学期望与方差§4.协方差及相关系数§5.矩、协方差矩阵例1某车间对工人的生产情况进行考察.车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量.如何定义X的平均值呢？32天没有出废品;30天每天出一件废品;17天每天出两件废品;21天每天出三件废品;统计100天,可得这100天每天的平均废品数为此数能否作为X的平均值？若另统计100天,小张不出废品,出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同,这另外100天每天的平均废品数也不一定是1

2、.27.当统计天数趋于时，才是小张每天的平均废品数由频率和概率的关系，用概率代替频率：以概率为权的加权平均这个数才是随机变量X的真正的平均值.是否合理呢？ni表示每天出i件废品i=0,1,2,3.得n天中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出三件废品)一般来说,若统计n天,以频率为权的加权平均把以上问题抽象为摸球模型描述:22300031112200033111箱子里面装有10个大小，形状完全相同的球，号码如图.规定从箱中任意取出一个球，记下球上的号码，然后把球放回箱中为一次试验.记X为所取出的球的号码(对应废品

3、数).X的概率函数为我们采用计算机模拟.请看演示随机变量均值的确定输入试验次数(即天数)n,计算机对小张的生产情况进行模拟,统计他不出废品，出一件、二件、三件废品的天数n0,n1,n2,n3,并计算与进行比较.看计算机模拟的结果.2230003111§1.数学期望例1.观察放射性物质7.5秒放出粒子数X。共观察2608次。X012345678910频数k57203383525532408273139452716算得平均值X＝3.87当试验次数N+时,才能得到真正的平均值。设观察N次,有k次放出k个粒子

4、.则：当N+时:设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x0

5、44.64例3.某人命中率为p.现携10发子弹向一目标射击(每次打1发),一旦击中或子弹打完就立刻转移.求他转移前平均射击的次数。解：X为射击次数,则X的概率分布为：P{X=k}=(1－p)k－1pk=1,2,…,9(1－p)9k=10例4.设Y的密度函数：求Y的数学期望。y>00y0fY(y)==12.几个重要随机变量的期望(1).二项分布X的概率分布为：解：=np(2).Poisson分布X的概率分布为：=(3).几何分布X的概率分布为：令:q=1-p(4).均匀分布X的密度函数为：(5).正态分

6、布X的密度函数为：=3.期望的性质:(1).E(a)=a(2).E(aX)=aE(X)(3).E(X+Y)=E(X)+E(Y)(4).当X与Y相互独立时：E(XY)=E(X)E(Y)(其中X，Y为随机变量；a为常数。)例5.某机器有3个部件,各部件需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3记X为需要调整的部件数.求E(X).解法1：先求X的概率分布：P{X=0}=P(A1A2A3)=0.9×0.8×0.7=0.504P{X=1}=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)设：Ai为第i个部件不需

7、要调整=0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398P{X=3}=P(A1A2A3)=0.1×0.2×0.3＝0.006P{X=2}=1－P{X=0}－P{X=1}－P{X=3}＝0.092故：E(X)=0×0.504+1×0.398＋2×0.092+3×0.006=0.6解法2：令：Xi＝1第i个部件需要调整0第i个部件不需要调整i=1、2、3则：E(X1)=0.1E(X2)=0.2E(X3)=0.3且X=X1+X2+X3故：E(X)=E(X1+X2+X3)=E(X1)+E(

8、X2)+E(X3)=0.6定理：设随机变量X的连续函数Y＝g(X)，E(Y)存在(1).对离散型随机变量X，若P{X=xk}=pkk=1,2,…则：E(Y)=E(g(X))=(2).对连续型随机变量X，若X的密度函数为:f(x)定理：设二维随机变量(X,Y)的连续函数Z＝g(X,Y)，E(Z)存在。(1).对离散型随机变量(X,Y),P{X=xi,Y=yj}