随机变量的数学期望.ppt

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1、第四章随机变量的数字特征数学期望方差协方差和相关系数矩与协方差矩阵§4.1数学期望4.1.1概念例1、盒子中有6个球（如图），122333从中任取一球再放回，重复了三次，问三次抽到号码的平均值。定义4.1：设离散型随机变量X的分布列是，若级数收敛，则称随机变量X的数学期望存在，且称级数的和为X的数学期望，并记为EX，有时也称EX为X的均值。对连续型随机变量X的数学期望类似的可定义如下：定义4.2：如果连续型随机变量X具有密度函数f(x)，积分收敛，则称X的数学期望存在，否则称X的数学期望不存在。若X的数学期望存在，称积分值为X的数学期望，也记为

2、EX。注1、若，仍称X的数学期望不存在。2、离散型取有限个值，连续型密度函数只在有限区间上积分，则X的期望一定存在。3、离散型只取非负值，连续型只在x>0时f(x)>0，则只需直接计算期望。4.1.2常见随机变量的数学期望（1）（0－1）分布p1-pP10X（2）二项分布B(n,p)（3）泊松分布P(λ)（4）几何分布G(p)（5）超几何分布H(N,M,n)（6）均匀分布U(a,b)（7）指数分布（8）正态分布N(μ,σ2)4.1.3随机变量函数的数学期望定理4.1：设Y是随机变量X的函数，即（g是连续函数），（1）若X是离散型随机变量，其分布

3、律为而级数绝对收敛，则有（2）若X是连续型随机变量，其密度函数为，若积分绝对收敛，则有定理4.2：设Z是二维随机变量（X，Y）的函数，即Z＝g（X，Y），则（1）若（X，Y）是二维离散型随机变量，有（2）若（X，Y）是二维连续型随机变量，有例1：设X～B（n，p），求EX(X－1)。解：因X～B（n，p），则X的分布律为令Y＝g（X）＝X(X－1)例2、已知X～N(0,1)，求E(X4)例3、（X,Y）的联合密度函数为：求：EY例4：设随机变量（X，Y）服从二维正态分布，其密度为求的数学期望。解：例5：设X、Y相互独立同服从标准正态分布N（0，

4、1），求E（max｛X,Y｝）。解：由题设，(X，Y)的联合密度为（1）EC＝C，(C为常数)（2）E(CX)＝CEX，(C为常数)（3）E(X+Y)＝EX＋EYE(aX+b)＝aEX＋b，E()＝（4）若X、Y是相互独立的随机变量，则E(X·Y)＝EX·EY。4.1.4数学期望的性质例6、盒中有N个球，其中M个黑球，N-M个白球，从中任取n个球，令X表示取得黑球的个数，求EX。§4.2随机变量的方差4.2.1方差的定义对随机变量的特征进行考察，除了数学期望外，还要考察X的可取值与EX的偏离情况，由于X－EX可正可负，因此用[X－EX]2来考虑

5、。定义4.3：设X是一个随机变量，若(X－EX)2的数学期望存在，则称E(X－EX)2为X的方差，记为DX或Var(X)，即DX＝E(X－EX)2离散型随机变量：连续型随机变量：方差的计算公式：4.2.2几种常见的随机变量的方差（1）（0－1）分布p1-pP10X（2）二项分布：（3）泊松分布：（4）均匀分布：（5）指数分布：（6）正态分布：4.2.3方差的性质（1）D(C)＝0，(C为常数)（2）D(CX)＝C2DX，(C为常数)（3）若X、Y是相互独立的随机变量，则D(X+Y)=D(X-Y)＝DX＋DY（4）DX＝0例1、已知X～N(1,2

6、2)，Y～N(2,22)，且X、Y相互独立，求：X-2Y+3的数学期望和方差。定理：切比雪夫不等式§4.3协方差与相关系数4.3.1协方差与相关系数的概念我们在证明方差的性质时看到，当两个随机变量X和Y相互独立时，有但当X和Y不相互独立时，它们之间的关系呢？称为X、Y的相关系数。定义4.4：设X、Y是两个随机变量，称为随机变量X、Y的协方差，记为即：相关系数的特征：是一个无量纲的量。它描述的是X、Y之间的线性相关程度。特殊的，当时，称X,Y不相关。结论：X、Y相互独立，则其一定不相关；但若X，Y不相关，却未必相互独立。4.3.2协方差与相关系数

7、的性质1、协方差的性质:2、相关系数的性质:（1）

8、

9、≤1;（2）

10、

11、=1的充要条件为X与Y以概率1线性相关。即存在常数a、b，a≠0，使例1、已知随机变量X,Y相互独立，且求3X-Y与X+Y的相关系数。独立与不相关的关系：X、Y相互独立，则其一定不相关；但若X，Y不相关，却未必相互独立。例2、已知（X,Y）的联合密度函数为：证明：X，Y不相关，X，Y不独立。§4.4矩、协方差矩阵4.4.1矩定义4.5：设X、Y是随机变量，称为X的k阶原点矩称为X的k阶中心矩称为X与Y的k+l阶混合中心矩4.4.2协方差矩阵设n维随机变量X＝，记称为X的期望向

12、量，记为Xi与Xj的协方差，则称n阶矩阵Σ为随机变量X的协方差矩阵。设n维随机变量X＝，记称为X的期望向量，记为Xi与Xj的协方差，则称n阶矩阵Σ协方