高考数学复习点拨焕然一新的切线.doc

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1、焕然一新的切线　　如图1，曲线是函数的图象，是曲线上的点，点沿着曲线逐渐向点接近时，割线将绕着点逐渐转动时，割线将绕着点逐渐转动．当点沿着曲线无限接近点时，如果割线有一个极限位置，那么直线叫做曲线在点处的切线．　　在这里，切线的定义有以下“焕然一新”的特点：　　第一，从定义的描述中可以看出切线的基本特征：曲线的切线是割线的极限位置（图1）．此时，割线的极限位置存在，则有切线；割线的极限位置不存在，则无切线．即使是直线都可以探讨它的切线．如图2，在函数中，当时，与定义中的割线对应的直线是，割线的极限位置也是直线，所以函数在处有切线．　　第二，导数的几何意义反应了曲线在某点处切线的斜率．函

2、数在某点处的导数存在，则函数图象在该点处切线的斜率存在，故切线一定存在．函数在某点处的导数不存在，则函数图象在该点的切线的斜率不存在，故切线一定不存在．在图2中，函数在点处，当时，有极限1，当时，有极限，它的左导数与右导数不相等，所以当时，无极限，函数在点处无导数，即其函数的图象在点处无切线．第三，曲线的切线与曲线的公共点的个数可能不是唯一的，公共点的个数可随曲线及曲线上切点的位置的改变而不同．如在曲线上点处的切线方程是，切线与曲线还有一个公共点，坐标是．在图3中，曲线在点处的切线方程是：，它与曲线的公共点有两个以上，当的取值无限趋近或时，曲线的切线与曲线的公共点逐渐增多，可达到无限多

3、个．　　第四，定义中曲线的切线与曲线只有一个公共点时，曲线上的其余各点可以分布在切线的两侧．如图4，曲线在处的切线方程为，它把曲线分为两部分．当曲线的切线与曲线不只一个公共点时，曲线更会分布在切线的两侧，如图3中过点的切线．　　第五，对于曲线的切线而言，过曲线上的某些点可以作两条或两条以上曲线的切线；过曲线外的点更可能作两条或两条以上曲线的切线．例如：（1）过曲线上的点的切线方程是　　　　．　（2）已知曲线及点，则过点可向引切线的条数为　　　　条．　　分析：（1）令切点为，则．过点的切线斜率，故过点的切线方程为，点在切线上，有，或．所求切线方程为及．可以看出过曲线上的点的切线有两条．　

4、　（2）采用与（1）类似的求法可知过点可向曲线引3条切线．　　在图3中，过曲线上的点可作无数条曲线的切线．过曲线外的点也可作无数条曲线的切线．　　通过以上分析可以看出，这里的切线概念与学过圆的切线的概念完全不同，掌握切线的这些特点，对导数概念的理解和用导数解决问题都大有帮助．