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《数值分析ex4-5《数值分析》习题课I.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、《数值分析》习题课I误差与有效数字二分法、牛顿迭代法不动点迭代与收敛阶典型例题与习题具有n位有效数字,则绝对误差满足2/18相对误差满足如果一个浮点数1.设x*是f(x)=0在[a,b]内的唯一根,且f(a)·f(b)<0,则二分法计算过程中,数列满足:
2、xn–x*
3、≤(b–a)/2n+12.Newton迭代格式:3.弦截法迭代格式:(n=0,1,2,·····)3/18定理如果,满足条件:;(2)则:区间[a,b]内存在唯一的不动点x*;设,若存在a>0,r>0使得则称数列{xn}r阶收敛.且对任意x0∈[a,b],迭代格式产生的序列{xn}收敛
4、到不动点x*,误差满足4/18数列加速收敛原理定理2.6设x*是的不动点,且而则p阶收敛5/18例1.设x1=1.21,x2=3.65,x3=9.81都具有三位有效位数,试估计数据：x1×(x2+x3)的误差限。解：由
5、e(x1)
6、≤0.5×10-2，
7、e(x2)
8、≤0.5×10-2，
9、e(x3)
10、≤0.5×10-2所以,
11、e(x2+x3)
12、≤10-2
13、e(x1×(x2+x3))
14、≤(1.21+0.5×13.46)×10-2=7.94×10-2Ex1.若要x1×(x2+x3)的误差限为0.5×10-2,问数据x1,x2,x3应该具有几位有效数?6/
15、18例2.设计算球体V允许其相对误差限为1%,问测量球半径R的相对误差限最大为多少?解：由球体计算公式分析误差传播规律故当球体V的相对误差限为1%时，测量球半径R的相对误差限最大为0.33%。相对误差传播规律Ex2.对z=f(x,y),若允许其相对误差为1%,问应该对x,y如何限制?7/18例3.采用迭代法计算，取x0=2(k=0，1，2，……)若xk具有n位有效数字，求证xk+1具有2n位有效数字。8/18思考：反问题？1-8序列{yn}满足递推关系yn=10yn-1–1(n=1,2,·····)若取y0=√2≈1.41(三位有效数字).递推
16、计算y10时误差有多大？计算过程稳定吗？解:取x0=1.41,则e(x0)≤0.005e(xn)=10e(xn-1)(n=1,2,······,10)e(x10)=10e(x9)=······=1010e(x0)
17、e(x10)
18、=1010
19、e(x0)
20、≤0.5×108计算过程不稳定！9/181-12利用级数可计算出无理数的近似值。由于交错级数的部分和数列Sn在其极限值上下摆动，故截断误差将小于第一个被舍去的项的绝对值
21、an+1
22、。试分析，为了得到级数的三位有效数字近似值，应取多少项求和。解:由部分和10/182-6应用牛顿迭代法于方程x3–a=0
23、,导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛性。解：令f(x)=x3–a，则牛顿迭代公式故立方根迭代算法二阶收敛11/18例4.设a为正实数，试建立求1/a的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并考虑迭代公式的收敛。xn+1=xn(2–axn)，(n=0，1，2……)所以,当
24、1–ax0
25、<1时，迭代公式收敛。解:建立方程利用牛顿迭代法，得1–axn+1=(1–axn)2整理，得12/18例5.若x*是f(x)=0的二重根,分析牛顿迭代法的收敛性？解:由于f(x)=(x–x*)2g(x)Ex.若x*是f(x)=0的m重根,试分析牛顿迭代法的收敛
26、性13/18练习1将割线法修改为单点迭代公式试分析该算法的收敛性.14/18练习2设计多项式乘积(卷积)算法Pn(x)=a1xn+a2xn-1+···+anx+an+1Pm(x)=b1xm+b2xm-1+···+bmx+bm+1用[a1a2···anan+1]表示Pn(x)用[b1b2···bmbm+1]表示Pm(x)Pn+m(x)=c1xn+m+c2xn+m-1+···+cn+mx+cn+m+1用[c1c2···cn+mcn+m+1]表示Pn(x)×Pm(x)15/18练习3在计算机上对调和级数自左至右做求和计算当n很大时，Sn将不随n的增加而增
27、加。试说明原因。16/18练习4分析下列方程，确定方程的全部隔根区间17/18(1)xsinx=1；(2)sinx–e-x=0；(3)x=tanx；(4)x2–e-x=0练习5对于复变量z=x+iy的复值函数f(z)应用牛顿迭代公式时为避开复数运算,令zn=xn+iynf(zn)=An+iBn，f’(zn)=Cn+iDn证明18/18
