高等数学教学讲解教学讲解教案（同济六版）5-4 反常积分.ppt

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1、第四讲反常积分定积分有限闭区间有界函数反常积分无穷限无界函数反常积分一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分反常积分一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分曲线和直线及x轴所围成的开口曲边梯形的面积.引例记作:无穷限的反常积分记作这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若则定义定义若存在,则称此极限为f(x)在[a,+∞)上的反常积分,设取若则定义只要有一个极限不存在,就称发散.引入记号则有类似牛–莱公式的计算表达式:若F(x)是f(x)的原函数,思考:例1例2例3证明当p>1时收敛;p≤1时发散.注牢记结论计算计算反常积分一、无穷限

2、的反常积分二、无界函数的反常积分反常积分一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分曲线所围成的与x轴,y轴和直线开口曲边梯形的面积.可记作引例无界函数的反常积分如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界，则称点a为f(x)的瑕点(无界间断点).(瑕积分)这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.定义存在,若极限在(a,b]上的反常积分,则称此极限为函数f(x)点a为f(x)的瑕点,设函数f(x)在(a,b]上连续，取记作存在,取类似地,则定义若极限点b为f(x)的瑕点,设函数f(x)在[a,b)上连续，否则，就称反常积分发散注若被积函数在积分区间上仅

3、存在有限个第一类间断点,而不是反常积分.则本质上是常义积分,例:若f(x)在[a,b]上除点c点c为f(x)的瑕点,外连续,则定义如果两个反常积分与都收敛,否则，就称反常积分发散.的计算表达式:则也有类似牛–莱公式的若b为瑕点,则若a为瑕点,则若a,b都为瑕点,则可相消吗?若F(x)是f(x)的原函数,则若c为瑕点,思考例4例5若忽略了x=0为被积函数的瑕点，就会导致错误！注例6证明当q<1时收敛;q≥1时发散.注牢记结论例7计算计算计算(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化.例,(2)当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反

4、常积分.注试证,并求其值.例8