高等数学教学讲解教学讲解教案（同济六版）9-2 偏导数.ppt

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1、第二讲偏导数偏导数一、偏导数二、高阶偏导数偏导数一、偏导数二、高阶偏导数一偏导数(一)定义(二)求法(三)几何意义(四)与连续的关系一偏导数(一)定义(二)求法(三)几何意义(四)与连续的关系引入理想气态方程：温度T不变等温过程P对V的变化率？容积V不变等容过程P对T的变化率？固定yz对x的变化率？固定xz对y的变化率？一元函数二元函数定义1设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0有增量Δx时,相应地函数有增量:f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)如果存在，则称此极限为函

2、数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作：类似地，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数定义为：记作：定义2如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数，记作：类似地，可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导函数：记作：通常把偏导函数简称为偏导数偏导函数与偏导数的区别与联系:区别:函数数联系:一偏导数(一)定义(二)求法(三)几何意义(四)与连续的关系一偏导数(一)定义(二)求法

3、(三)几何意义(四)与连续的关系例1求在点(1,2)处的偏导数.例2例3例4求的偏导数.注是一个整体记号，不能看成分子与分母之商.已知理想气体的状态方程为：求证：(R为常量),求注分段函数在分段点处的偏导数必须用定义求.一偏导数(一)定义(二)求法(三)几何意义(四)与连续的关系一偏导数(一)定义(二)求法(三)几何意义(四)与连续的关系二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.是曲线在点M0处的切线对y轴的斜率.一偏导数(一)定义(二)求法(三)几何意义(四)与连续的关系一偏导数(一)定义(二)求

4、法(三)几何意义(四)与连续的关系例5例6结论偏导数存在连续考察在(0,0)处的偏导数与连续性.考察在(0,0)处的偏导数与连续性.偏导数一、偏导数二、高阶偏导数偏导数一、偏导数二、高阶偏导数设z=f(x,y)在区域D内具有偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数概念混合偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.此处但这一结论并不总成立.求函数的二阶偏导数及求法定理本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.注例7注如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数及在

5、区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.例8证明函数满足拉普拉斯方程其中