近世代数课件-4.1.素元、唯一分解环.ppt

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1、§1.素元、唯一分解1.1整除及其性质1.2单位与相伴元1.3真因子1.4素元1.5唯一分解1.1整除及其性质要在一个整环里讨论因子分解，我们首先需要把整数环的整除以及素数两个概念推广到一般整环里去。定义1我们说，整环的一个元可以被的元b整除，假如在里找得出元c来，使得假如能被b整除，我们说b是的因子，并且用符号来表示。b不能整除，我们用符号来表示。整除的定义,和整数及多项式的整除定义完全一样.因此,一些最基本的性质可以平移过来.例1表达“”正确吗？？(2),(3),(1)(4)任一个元素整除0,特别

2、地,0整除0(5)被0整除的只有0.(传递性)1.2单位与相伴元定义2整环的一个元叫做的一个单位，假如是一个有逆元的元。注意:两个表达“单位”与“单位元”的区别.一个整环至少有两个单位，就是1和-1，在一般情形之下，在一个整环里常有两个以上的单位存在（参看本书习题2）。定理1两个单位和的乘积也是一个单位。单位的逆元也是一个单位。整除的性质:(6)任一个元可以被单位整除.(7)任一个元可以被单位整除事实上,这就是说，一个任意元可以被每一个单位和的每一个相伴元整除。定义3元b叫做元的相伴元，假如b是个一个

3、单位的乘积：注1.相伴关系是等价关系.注2.相伴元有另外的描述:和是一对相伴元和相互整除.(留作练习)例2．发现一些整环的单位及一个元a的相伴元。例3.在整环中,(1)(2)是相伴元1.3真因子元永远存在的因子和,.同其它因子区别一下。定义4单位以及元的相伴元叫做的平凡因子。其余的的因子，假如还有的话，叫做的真因子。定理3整环中一个不等于零的元有真因子的充分而且必要条件是：b和c都不是单位。证明(1)必要性.若有真因子，那么这里的b由真因子的定义不是单位。c也不是单位，不然的话b是的相伴元，与b是的真

4、因子的假定不合。(2)充分性.设b和c都不是单位。这时b不会是的相伴元，不然的话c是单位，与假定不合。这样，b既不是单位，也不是的相伴元，b和的真因子。证完。定理3’整环中一个不等于零的元有真因子的充分而且必要条件是：b和c都不是的相伴元。由定理的证明,容易得到:推理假定，并且有真因子。那么c也是的真因子。证明c不是单位,否则,b是a的相伴元.c也不会是a的相伴元,否则,b是单位。证完。1.4素元我们知道，一个素数只有因子和，除了这四个数以外素数没有其它因子。依照上面的规定，都是整数环的单位，都是的相

5、伴元，所以我们可以说，素数的一个性质是，它只有平凡因子。素数还有另外一个性质，就是或。依照素数的这些性质，定义素元定义整环的一个元叫做一个素元，假如既不是零元，也不是单位，并且只有平凡因子(或曰:没有真因子)。按照这个定义以下事实成立：定理2单位同素元的乘积也是一个素元。证明由于，而整环没有零因子，所以。也不会是单位，不然的话是单位，与假定不合。假定有真因子b,那么:b和c都不是单位,注意:b和不是单位，有真因子,矛盾。证完。1.5唯一分解已经有了素元的定义，让我们现在看一看，在什么情形之下可以说，一

6、个元可以唯一地分解成素元的乘积。首先我们必须要求，可以分解成有限素元的乘积：不然的话，我们根本无法讨论是不是能唯一地分解。可是能够写成以上的乘积，也就能够写成以下的素元的乘积：假如我们把以上的几种分解看作不一样的，那么只要一个元能够写成两个以上的素元的乘积，这个元就不能有唯一的分解；这样我们的问题就没有什么多的意义了。因此我们下以下定义我们说，一个整环的一个元在里有唯一分解，假如以下条件被满足：（ⅰ）分解性.（ⅱ）唯一性.若同时那么并且我们可以把的次序掉换一下，使得注3.依照这个定义，一个整环的零元和

7、单位一定不能唯一分解.假如，我们把零写成若干个元的乘积那么某一个一定是0，但0不是素元。假如我们能把一个单位写成若干个元的乘积：那么是一个单位，但单位不是素元。所以唯一分解问题的研究对象只能是既不对于0也不是单位的元（我们说整数都能唯一分解，也没有把0同算上）。注4.注意“唯一分解”是定义，而不是定理。现在我们就问，一个整环的不等于零的元可以没有分解,分解也可以不唯一.例4(分解不唯一的例子)显然是一个整环。的元都是复数，我们很容易得到以下事实。（1）的一个元是一个单位，当而且只当的时候，只有两个单位

8、，就是。假定是一个单位，那么但是一个正整数，同样也是一个正整数，因此有。反过来看，假定那么；这就是说，而显然是单位。（2）适合条件的的元一定是素元。首先，既然；并且（1），也不是单位。假定是的因子：那么但不管，b是什么整数，，因此若是，由（1），是单位。若是，那么，是单位，因而是的相伴元。这样只有平凡因子，是素元。现在我们看的元4的分解：（A）因为由（2）知道，2，都是的素元。这就是说，（A）表示4在里的两种分解。但由（1），和都不是2的相伴元，因而按照