高中数学论文应用三角形的面积巧解竞赛题.doc

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1、应用三角形的面积巧解竞赛题三角形是几何中最基本的多边形。在求其它多边形问题时，经常把多边形问题化归成三角形问题来求解。特别是三角形的面积，在解题中更是应用广泛。下面就举例说明。一、知识点回顾：三角形的面积公式：三角形的面积等于底乘以其边上的高的一半。性质：1、等底同高的两个三角形，面积相等。2、同底等高的两个三角形，面积相等。3、等底等高的两个三角形，面积相等。请同学们仔细体会解题过程中的“设而不求”的奇妙。二、应用举例例1、如图1所示，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．若AB＝4cm，BC＝6cm，AE＝CG

2、＝3cm，BF＝DH＝4cm，四边形AEPH的面积为5cm2，则四边形PFCG的面积为_________cm2．08年浙江省初中数学竞赛初赛试题解法1、如图2所示，连接EH、HG、GF、FE，在矩形ABCD中，因为，DH=BF，BE=DG，∠B=∠D，所以，△BEF≌△DGH，所以，EF=GH，同理可证，△AEH≌△CFG，所以，EH=GF，所以，四边形EFGH是平行四边形，因为，S△AEH=×AE×AH=×2×3=3=S△CFG，S△DGH=×DH×GH=×4×1=2=S△DGH，所以,S四边形EFGH=24-2(3+2)=14,所以，S△EPH+S△PGF=7

3、，因为，四边形AEPH的面积为5cm2，所以，S△EPH=2，所以，S△PGF=5，所以，S△PGF+S△CFG=5+3=8，即四边形PFCG的面积为8cm2。解法2、如图3所示，连接PA、PC，过点P分别作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N；OR∥BC，交AB于点O，交DC于点R，则四边形ABNM、四边形OBCR都是矩形，设PM=x，PN=4-x，PO=y，PR=6-y，因为，S△PAH=×PM×AH=×2×x=x，S△PAE=×AE×PO=×3×y=y，因为，四边形AEPH的面积为5cm2，所以,x+y=5，S△PFC=×FC×PN=×2×(4-x)=4-

4、x，S△PCG=×CG×PR=×3×(6-y)=9-y，因为，四边形PFCG的面积=S△PFC+S△PCG=4-x+9-y=13-（x+y）=13-5=8，即四边形PFCG的面积为8cm2。解法2、如图3所示，连接PA、PC，过点P分别作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N；OR∥BC，交AB于点O，交DC于点R，则四边形ABNM、四边形OBCR都是矩形，设PM=x，PN=4-x，PO=y，PR=6-y，因为，S△PAH=×PM×AH=×2×x=x，S△PAE=×AE×PO=×3×y=y，因为，四边形AEPH的面积为5cm2，所以,x+y=5，S△PFC=×FC

5、×PN=×2×(4-x)=4-x，S△PCG=×CG×PR=×3×(6-y)=9-y，因为，四边形PFCG的面积=S△PFC+S△PCG=4-x+9-y=13-（x+y）=13-5=8，即四边形PFCG的面积为8cm2。例2、如图5，点A在平行四边形BCDE的对角线上，试判断之间的大小关系（）A．B．C．D．无法确定（08年广东省初中数学竞赛初赛试题）解析：如图6所示，连接EC，与BD的交点设为G，过点E作EF⊥BD，垂足为F，过点C作CH⊥BD，垂足为H，因为，四边形BCDE是平行四边形，所以，△BED≌△DCB，所以，S△BED=S△DCB，因为，四边形BCD

6、E是平行四边形，所以，EG=CG，因为，∠EFG=∠CHG=90°,∠EGF=∠CGH所以，△EFG≌△CHG，所以，EF=CH，因为，三角形AED和三角形ACD有相同的底AD，并且有相等的高，所以，S△EAD=S△CAD，所以，S△BED-S△EAD=S△DCB-S△CAD，即S1=S2，所以，选择A。例3如图7所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（）（08年广东省初中数学竞赛初赛试题）A．B．C．D．解析：如图8所示，连接PO，因为，四边形ABCD是矩形，所以，S△AOD=×3×4=3,AO

7、=DO,因为，S△PAO=×AO×PE，S△POD=×DO×PF，S△AOD=S△POD+S△PAO=×AO×PE+×DO×PF=×DO×（PF+PE），所以，×DO×（PF+PE）=3，因为，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，所以，BD=5，因此，DO=,所以，PF+PE=，因此，选择B。例4、如图9所示，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上，四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（）A．S=2B．S=2.4C．S=4D．S与BE长度有关（08年广东省初中数学竞赛初赛试题）解析：如图10所示，设FC与AB的交点为H，BH=x，因为，四边形AB

8、CD、四边