计算部分上(无答案).doc

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1、第一章速算与巧算在我们日常生活和学习中，时刻离不开数字计算。在数学中，更离不开计算了。可以说，计算是数学的地基，计算是数学的大门。怎样计算的又正确又迅速，在方法上既合理又灵活呢？学习速算巧算是很有必要的。一、加法中的巧算1、利用补数巧算<1>．什么叫“补数”？两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。如：1＋9＝10，3＋7＝10，2＋8＝10，4＋6＝10，5＋5＝10。又如：11＋89＝100，33＋67＝100，22＋78＝100，44＋56＝100，55＋45＝100。…在上面算式中，1叫的“补数”；

2、89叫11的“补数”，11也叫89的“补数”，也就是说两个数互为“补数”对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？一般来说，可以这样“凑”数：从高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。如：876551234546802531988736212638…下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。<2>．互补数先加。例1巧算下面各题：（1）36＋87＋64（2）99＋136＋101（3）1361＋972＋639＋28例2巧算下列各题：（1）188＋873（2）548＋996（3）9898＋2032、利用技巧巧算²加法交换律两个数相

3、加，交换加数的位置，它们的和不变。一般的，有a＋b＝b＋a²加法结合律三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再同第一个数相加，它们的和不变。一般的，有a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。这里应注意：如果推广到多个数相加，任意交换加数的位置，它们的和不变；或者先把其中的几个数结合成一组相加，再把所得的和同其余的数相加，它们的和不变。把加法的交换律和结合律结合起来使用，先把加在一起是整十、整百、整千、…的加数加起来，然后再与其他数相加，可进行巧算。例1巧算下列各题：（1）32＋81＋23＋19＋68（2）（24＋37＋15

4、）＋（16＋45＋13）高斯求和1＋2＋3＋4＋…＋99＋100的和是多少？这是德国大数学家高斯（Gauss，1777～1855）读小学时，他的教师在一次课上为全班同学出的一道题。老师刚把题目说完，小高斯已迅速、准确地说出了答案5050。其他同学大为震惊，他做加法的速度怎么这样快！原来是算法问题，其他同学是按题目给出的数的顺序逐个做加法，而高斯是这样算的：它运用加法交换律和结合律，把1，2，3，4，…，99，100这一串数按正反两个顺序排成两行，即1，2，3，4，…，99，100100，99，98，97，…，2，1分别将上下对应的两个数相加，它们的和是相等

5、的，都是101，于是原式的和就等于（100＋1）×100÷2＝5050高斯求和的方法给后人以很多启示，其主要方面是用一次乘法取代多次加法，为了施行乘法，要配置一些数，随之增加的运算应是十分简单的，比如此题中的除以2。这样一来运算过程大大缩短了，速度也就快了。按照高斯的想法可以考虑12＋22＋32＋42＋…＋992＋1002的和。k个k先将任意一个k2改写成k＋k＋…＋k，那么原式就是下面这样一个三角阵中各数的和。12233344449999……9999100100……100100三角阵共100行，第k行由k个k组成。接下来为这个三角阵配上两个三角阵，它们分

6、别由原三角阵整体旋转得到，即100100991001009999994434432349910010099432123499100100994321如果不考虑三角阵每个位置上的数，这三个三角阵的结构是完全一样的。把这三个三角阵对应位置的数相加，可见，每个位置上三个数的和都相等，它们的值都是201。而三角阵中共有1＋2＋3＋4＋…＋99＋100个数的位置，于是三个三角阵的所有数的和等于（2×100＋1）×（1＋2＋3＋4＋…＋99＋100）＝201×5050每个三角阵的所有数的和是201×5050÷3＝338350，即12＋22＋32＋42＋…＋992＋10

7、02＝338350。一般地，对于任意自然数n，有12＋22＋32＋42＋（n－1）2＋n2＝这个结果的产生同高斯求1＋2＋3＋4＋…＋99＋100的和的方法一模一样。一个是配一行顺序相反的数，即将原数列头转到尾，另一个是配两个三角阵，将原三角阵旋转120º，再旋转120º，也就把原三角阵的“第一个”顶转到“最后一个”顶。其结果是每一对应位置上的数的和都相等，也就把很多次加法运算换作很少次的乘法运算。效果是明显的。（a）（b）据以上讨论，可知，1＋2＋3＋4＋…＋99＋100的和也可以通过算三角阵的位置的个数得到。因此，从中得到一种想法，能不能通过一些容易计

8、算点数的点阵来计算出一些数串的和呢？在探索中，一些结论得出了。为计