§5.1 不定积分的概念和性质

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1、§5.1不定积分的概念和性质一、原函数与不定积分的概念1.1、问题的提出1.2、原函数1.3、不定积分的定义二、不定积分几何意义2.1、积分曲线积分曲线族2.2、初始条件三、不定积分基本性质3.1、求积求导互逆性3.2、可加性3.3、数乘性四、小结练习：P209-210(1;2)作业:P209-2103.一、原函数与不定积分的概念1.1、问题的提出问题：若作直线运动的点M的运动规律由位置函数s=s(t)给出，其中t是运动经过的时间，s是点M在数轴上的位置坐标。那么求函数s(t)的导数就得到点M在时刻t的速度v=s'(t)。但现在反过来问:已知点M在作直线运动

2、时任一时刻的速度v=v(t),求点M的运动规律，即求出s=s(t)，从数学角度来讲即要找一个函数s=s(t)，使得s'(t)=v(t)。前面一直把v(t)叫做s(t)的导数，现在则把s(t)叫做v(t)的原函数。例1.2、原函数⑴定义：设f(x),x∈(a,b).如果$F(x),x∈(a,b),使得那么在(a,b)内，称F(x)为f(x)(或f(x)dx)的原函数。一、原函数与不定积分的概念有了原函数的概念后，开头的问题就可以叙述为：已知函数v(t)，要找出它的原函数s(t)？——本章基本问题也是积分学中心问题。一、原函数与不定积分的概念⑵原函数存在定理：如

3、果f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x),使对任一x∈I都有简言之：连续函数一定有原函数。⑶问题：①原函数是否唯一？②若不唯一它们之间有什么联系？考察（为任意常数）由此可以得一、原函数与不定积分的概念⑷关于原函数的两个结论：①若，则对于任意常数C，②若和都是的原函数，则(C为任意常数).证(C为任意常数)。⑸原函数的结构定理：若f(x)在某个区间上有一个原函数F(x),那么,f(x)在该区间上就有无穷多个原函数,且所有的原函数都可以表示为F(x)+C的形式.1.3、不定积分及几何意义在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(

4、x))(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,记作：任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量⑴不定积分的定义：一、原函数与不定积分的概念积分常数函数族例1求解一、原函数与不定积分的概念解例2求例3求解一、原函数与不定积分的概念Back二、不定积分的几何意义⑴积分曲线2.1、积分曲线与积分曲线族函数f(x)的一个原函数F(x)的图形叫做f(x)的一条积分曲线.⑵积分曲线族函数f(x)的不定积分F(x)+C表示全体原函数,F(x)+C的图形叫做f(x)的积分曲线族.注:对积分曲线族而言，在横坐标相同的点处，各曲线的切线有相同的斜率，故这些切线彼此平行，这族曲线可

5、由其中一条沿y轴上下平移而得到。例4设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.求积分曲线族F(x)+C中某一特定曲线而确定常数C的附加条件.2.2、初始条件解设曲线方程为由题意得由曲线通过点(1,2)所求曲线方程为二、不定积分的几何意义Back由求不定积分与求导互为逆运算，即有三、不定积分基本性质3.1、求积求导互逆性注意：对一个函数先积分后微分，则两者作用相互抵消；反之，若先微分后积分，则两者作用抵消后相差一个常数.例5解证等式成立.注：⑴即和的积分等于积分的和；三、不定积分的性质3.2、可加性⑵此性质可推广到有限

6、多个函数之和的情况）三、不定积分的性质注：可加性和数乘性统称线性性质。3.3、数乘性性质2与性质3合在一起可以推广为：Back