高考一轮复习：不等式性质及证明

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1、不等式性质及证明1．不等式的性质比较两实数大小的方法——求差比较法；；。定理1：若，则；若，则．即。说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。定理2：若，且，则。说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性。定理3：若，则。说明：（1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向；（2）定理3的证明相当于比较与的大小，采用的是求差比较法；（3）定理3的逆命题也成立；（4）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。定理3推论：

2、若。说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式定理4．如果且，那么；如果且，那么。推论1：如果且，那么。说明：（1）不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变；（2）两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；（3）推论可以推广到任意有限个两边都是正数的

3、同向不等式两边分别相乘。这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。推论2：如果，那么。定理5：如果，那么。2．基本不等式定理1：如果，那么（当且仅当时取“”）。说明：（1）指出定理适用范围：；（2）强调取“”的条件。定理2：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）说明：（1）这个定理适用的范围：；（2）我们称的算术平均数，称的几何平均数。即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。3.不等式的证明：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法。（1）比较法证不等式有作差

4、(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证；（2）综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野。4．几个重要不等式（1）（2）（当仅当a=b时取等号）2（3）如果a,b都是正数，那么（当仅当a=b时取等号）最值定理：若则：如果P是定值,那么当x=y时，S的值最小；如果S是定值,那么当x=y时，P的值最大；注意：前提：“一正、二定、三相等”，如果

5、没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；“和定积最大，积定和最小”，可用来求最值；均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致（当仅当a=b=c时取等号）；（当仅当a=b时取等号）。2