2016年中考一轮复习 数学（安徽专版）类型四 综合探究.doc

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1、类型四　综合探究　(2015·安徽)如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC.(1)求证：AD＝BC；(2)求证：△AGD∽△EGF；(3)如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值．【思路点拨】　(1)由线段垂直平分线的性质得到线段相等，进而根据SAS证明三角形全等，得到对应边相等；(2)由线段相等得到成比例线段，再根据等角之间的转化得到夹角相等，从而证得三角形相似；(3)由垂直得到9

2、0°，由(1)的结论得到对应角相等，证得△AGB是直角三角形，再证∠GAB＝45°，由相似三角形的对应边成比例，结合特殊角三角函数值求出的值．【解答】　证明：(1)∵E为AB中点，GE⊥AB，∴GE是线段AB的垂直平分线，∴AG＝GB.同理可证GD＝GC.在△AGD与△BGC中，∴△AGD≌△BGC(SAS)，∴AD＝BC.(2)∵∠AGD＝∠BGC，∴∠AGB＝∠DGC.∵AG＝BG，DG＝CG，且E、F分别为AB，CD中点，∴∠AGE＝∠AGB，∠DGF＝∠CGD，∴∠AGE＝∠DGF，易证Rt△AGE∽R

3、t△DGF，∴∠AGD＝∠EGF，＝，∴△AGD∽△EGF.(3)延长AD交BC延长线于点M，∵AD、BC所在的直线互相垂直，∴∠DAB＋∠ABC＝90°，即∠DAB＋∠ABG＋∠GBC＝90°.∵△AGD≌△BGC，∴∠GAD＝∠GBC，∴∠DAB＋∠ABG＋∠GAD＝90°，∠GAB＋∠GBA＝90°.又∵∠GAB＝∠GBA，∴∠GAB＝45°.由(2)得△AGD∽△EGF，∴＝＝.(1)证明两条线段相等，通常证明这两条线段所在的两个三角形全等；(2)证明两个三角形相似，根据相似三角形的判定，通常需证明这两

4、个三角形的角相等或对应边成比例；(3)求两边的比值，通常方法一是分别求出这两边的值，二是证明这两边所在的三角形相似，运用相似三角形的性质实现线段之比的转换，达到求解的目的．在没有已知线段长度的情况下，通常要考虑与特殊角建立联系．1．(2015·福州)如图1.在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE＝∠A，DM∥EF交AC于点M.(1)求证：DM＝DA；[来源:学优高考网](2)点G在BE上，且∠BDG＝∠C，如图2，求证：△DEG∽△ECF；[来源:学优高考网gkstk](3)在

5、图2中，取CE上一点H，使∠CFH＝∠B.若BG＝1，求EH的长．[来源:学优高考网gkstk][来源:学优高考网]2．(2015·眉山)如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接AP并延长AP交CD于F点．(1)求证：四边形AECF为平行四边形；(2)若△AEP是等边三角形，连接BP，求证：△APB≌△EPC；(3)若矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，求△CPF的面积．[来源:gkstk.Com]参考答案1．(1)证明：∵DM∥EF，∴∠AMD＝∠A

6、FE.∵∠AFE＝∠A，∴∠AMD＝∠A.∴DM＝DA.(2)证明：∵D，E分别为AB，BC中点，∴DE∥AC.∴∠BDE＝∠A，∠DEG＝∠C.∵∠AFE＝∠A，∴∠BDE＝∠AFE.∴∠BDG＋∠GDE＝∠C＋∠FEC.∵∠BDG＝∠C，∴∠GDE＝∠FEC.∴△DEG∽△ECF.(3)∵∠BDG＝∠C＝∠DEB，∠B＝∠B，∴△BDG∽△BED.∴＝，即BD2＝BG·BE.∵∠AFE＝∠A，∠CFH＝∠B，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－∠AFE－∠CFH＝∠EFH.又∵∠FEH＝∠CEF，∴△E

7、FH∽△ECF.∴＝，即EF2＝EH·EC.又∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形．∴EF＝DM＝DA＝BD.∴BG·BE＝EH·EC.∵BE＝EC，∴EH＝BG＝1.　2.(1)证明：由折叠得到BE＝PE，EC⊥PB，∵E为AB的中点，∴AE＝EB，即AE＝PE.∴∠EBP＝∠EPB，∠EAP＝∠EPA.∵∠AEP为△EBP的外角，∴∠AEP＝2∠EPB.设∠EPB＝x，则∠AEP＝2x，∠APE＝＝90°－x，∴∠APB＝∠APE＋∠EPB＝90°－x＋x＝90°，即BP⊥AF，∴AF∥E

8、C.∵AE∥FC，∴四边形AECF为平行四边形；(2)证明：设EC与BP交于点Q，∵△AEP为等边三角形，∴∠BAP＝∠AEP＝60°，AP＝AE＝EP＝EB.∵∠PEC＝∠BEC，∴∠PEC＝∠BEC＝60°.∵∠BAP＋∠ABP＝90°，∠ABP＋∠BEQ＝90°，∴∠BAP＝∠BEQ.在△ABP和△EBC中，∴△ABP≌△EBC(AAS)．∵△EBC≌△EPC，∴△APB≌△EP