【精品】“有限元法基础及应用”.doc

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1、“有限元法基础及应用”补充讲义一、弹簧单元与弹簧系统1、弹簧单元分析1)单元描述弹性系统受力平衡时，从屮隔离出…个典型弹簧单元进行分析。写成矩阵形式:上式的矩阵符号形式为:单元节点编号:ij节点位移(基本未知量单元节点力(单元在节点处受到的作用力人Afj己知弹簧的物理特性：F=k-其屮：R为弹簧刚度,人=知-均为弹簧仲长量，F为弹簧力(拉仲为正)2)建立弹簧单元的有限元特性方程考虑弹簧元在系统屮变形平衡时的条件：力平衡条件和弹簧物理特性，得到下列方程：ft=-F=-k(u.-ui)=kui-kuj(11)f；=F=k(u；-u;)=-ku.+

2、ku;"丿J1

3、阵屮任意一个元素心的物理意义是：丿•节点的位移对i节点的节点力贡献系数，或者./•节点有单位位移，其他节点位移为零时，i节点上的节点力。c・单兀刚度方程可以求解吗？为什么？不可以。单元刚度方程仅仅表征一个单元的力学特性，单兀水平上无法确定单元节点位移。只有把系统屮所有单元特性集成后，在系统水平丄才可能求出所有未知位移和反力。单元水平丄，若己知单兀的节点位移，可由刚度方程求出所有单元节点力分量。若节点力已知，单兀节点位移不能确定，单元可作刚体运动。这也是单元刚度矩阵奇异性的物理解释。2、弹簧系统整体分析求解1）建立系统节点平衡方程以右图的一个弹簧

4、系统为例，研究如何由单元特性集成系统特性并建立对系统进行求解的控制方程。由前面得到的弹簧单元的刚度方程公分别写出2个弹簧单元的特性式（1-2）,方程如下:单元1单元2kiXk2—Hwmnwwa123F]u2,F2us.F3(1-4)(1-5)（注：右端节点力分量的下标为单元节点的局部编号，上标是单元编号）下面用两种方法装配单元特性、建立系统控制方程，并在特定条件下求解。（1）由系统中节点平衡条件导出：系统处于平衡时，考虑各节点（1,2,3节点）的平衡条件：由于节点受到的外载荷与节点受到与其连接的所有单元对其作用力（单兀节点力的反作川力）之和等于

5、零。因此有下列（节点）平衡方程（组）:F"场=A2把单元特性（1-4）,（1-5）代入（1-6）得到:(1-7)F、=kg—kyU2F2=一kg+(k、+k2)m2一F?=-k2u2+k2u3k-人0片k+k-k、〃2>=<0■&k2〃3J*写成矩阵形式:(1-8)(1-9)或矩阵符号形式:KD=F方程（1-8）,（1-9）是系统节点平衡方程，该方程建立了离散系统的外载荷与节点位移之间的关系，是求解节点位移的控制方程。方程（1-9）屮：K——弹簧系统的结构总刚度矩阵D——系统节点位移列阵F——系统节点载荷列阵讨论：a.K有那些特点和性质?b

6、.上述方程能求解吗?（2）由单元刚度方程叠加导出(1-10)将单元1,2的刚度方程（1-4）,（1-5）进行增广（扩大到系统规模）:-k、01♦r%k=0k25fl4>(1-12)将系统屮节点的力平衡条件（1-6）代入上式，就得到与（1-8）相同的系统节点平衡方程。上述两种建立系统平衡方程的方法都考虑了1）单元特性集成；2）系统屮节点外载荷与系统的节点力（系统内力

7、）的平衡。因此方程（1-8）的本质是系统屮所有节点的力平衡关系，其左边是由节点位移表示的系统节点力,右边是节点所受外载荷。不难发现，系统总刚度矩阵可以直接由单元刚度矩阵扩大后叠加而得到。总刚度矩阵元素的含义可以由方程（M2）分析出。2）系统平衡方程求解假如边界条件为：(1-13)J—0[^=f3=p则节点平衡方程（1-8）化为:-k、0・0-匕k、+k?-k2•■>=

8、程变化为：先后解方程(1-15)、(1-16)得:2Plk1u3\2P/kl+P/k2(1-16)(1-17)(1-18)从而解出了系统的未知