“有限元法基础及应用”补充讲义.pdf

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1、有限元法基础及应用补充讲义2010年2月“有限元法基础及应用”补充讲义一、弹簧单元与弹簧系统1、弹簧单元分析1）单元描述弹簧系统受力平衡时，从中隔离出一个典型弹簧单元进行分析。图1-1弹簧单元的端点i,j设置为单元节点。基本未知量为节点位移：u,uij单元节点力（单元在节点处受到的作用力）：f,fij已知弹簧的物理特性：Fk其中：k为弹簧刚度,uu为弹簧伸长量，F为弹簧力（拉伸为正）ji2）建立弹簧单元的单元刚度方程考虑弹簧单元在系统中变形平衡时的条件：力平衡条件和弹簧物理特性，得到下列方程：fFk

2、(uu)kukuijiij（1-1）fFk(uu)kukujjiij写成矩阵形式：fikkui（1-2）fjkkuj上式的矩阵符号形式为：（1-3）fkd方程（1-2）或（1-3）称为弹簧单元的刚度方程，反映了单元的力学特性，即节点力~节点位移之间的关系。式（1-3）中：1kkk,称为单元刚度矩阵kkuid,称为单元节点位移列阵ujfif,称为单元节点力列阵fj3）弹簧单元刚度方程的讨论a.k有何特点？对称、奇异

3、、主对角元素恒正。b.k中元素的物理意义是什么？刚度矩阵元素的大小等于弹簧刚度。从对方程（1-2）分析的分析可以看出，矩阵中某列的各元素代表列序号对应节点有单位位移，其它节点位移为零时，单元各节点上的节点力；某行的各元素分别是单元各节点的位移对行序号对应节点的节点力贡献系数。因此，矩阵中任意一个元素k的物理意义是：j节点的位移对i节点的节点ij力贡献系数，或者j节点有单位位移，其他节点位移为零时，i节点上的节点力。c.单元刚度方程可以求解吗？为什么？不可以。单元刚度方程仅仅表征一个单元的力学特性，单元水平上无法确定单元

4、节点位移。只有把系统中所有单元特性集成后，在系统水平上才可能求出所有未知位移和反力。单元水平上，若已知单元的节点位移，可由刚度方程求出所有单元节点力分量。若节点力已知，单元节点位移不能确定，单元可作刚体运动。这也是单元刚度矩阵奇异性的物理解释。2、弹簧系统整体分析求解1）建立系统节点平衡方程以右图的一个弹簧系统为例，研究如何由单元特性集成系统特性并建立对系统进行求解的控制方程。由前面得到的弹簧单元的刚度方程公式（1-2），分别写出2个弹簧单元的特性图1-2方程如下：（1-4）单元1单元2（1-5）（注：右端节点力分量的

5、下标为单元节点的局部编号，上标是单元编号）下面用两种方法装配单元特性、建立系统控制方程，并在特定条件下求解。2（1）由系统中节点平衡条件导出：系统处于平衡时，考虑各节点（1，2，3节点）的平衡条件：由于节点受到的外载荷FFF,,与节点受到与其连接的所有单元对其作用123力（单元节点力的反作用力）之和等于零。因此有下列（节点）平衡方程（组）：1Ff11Ff1f2（1-6）2212Ff32把单元特性（1-4），（1-5）代入（1-6）得到：Fkuku11112Fku(kk)uku（1-7）211122

6、23Fkuku32223写成矩阵形式：（1-8）或矩阵符号形式：（1-9）KDF方程（1-8），（1-9）是系统节点平衡方程，该方程建立了离散系统的外载荷与节点位移之间的关系，是求解节点位移的控制方程。方程（1-9）中：K——弹簧系统的结构总刚度矩阵D——系统节点位移列阵F——系统节点载荷列阵讨论：a．K有那些特点和性质？b．上述方程能求解吗？3（2）由单元刚度方程叠加导出将单元1，2的刚度方程（1-4），（1-5）扩大到系统规模：（1-10）（1-11）注意：1）对单元刚度方程扩大规模并不改变其表达的力学关系

7、。2）扩大后的单元刚度方程采用整体节点位移列阵。3）扩大后的方程中矩阵元素按对应的整体节点序号排列！将上述两个方程叠加，得到：（1-12）将系统中节点平衡条件（1-6）代入上式，就得到与（1-8）相同的系统节点平衡方程。上述两种建立系统平衡方程的方法都考虑了1）单元特性集成；2）系统中节点外载荷与系统的节点力（系统节点内力）的平衡。因此方程（1-8）的本质是系统中所有节点的力平衡关系，其左边是由节点位移表示的系统节点力，右边是节点所受外载荷。不难发现，系统总刚度矩阵可以直接由单元刚度矩阵扩大后叠加而得到。总刚度矩阵元素

8、的含义可以由方程（1-12）分析出。2）系统平衡方程求解假如边界条件为：u10（1-13）FFP23则节点平衡方程（1-8）化为：（1-14）4将该方程展开为两部分。第2，3个方程变化为：（1-15）第1个方程变化为：（1-16）先后解方程（1-15）、（1-16）得：（1-17）（1-18）从而解出了系统的未知位移和