关于一道几何竞赛题的思考.doc

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1、（图1）关于一道几何竞赛题的求解、思考有这样一道几何题：在任意AABC中，分别以AB、AC为边向外作正AABD和正△ACE,（如图1）若M、N分别为AD、CE中点，N为BC上一点，且BN=3NC,试求ANINP的各内角的度数。猜想：此题条件简明、扼要，结论中ANINP肯定为特殊三角形画图吋，不妨准确地画出该图，用量角器测量，发现ZMNP=90°,ZNPM=60,ZNMP=30°。为了进一步证实猜想的正确情，不妨确定AABC为等边三角形，边长为4a,（图2）连BM,过P作PR丄AE于R,延长RP,

2、NC交于T。则易求解MN=^BM2+BN2=y[2laMP={mr2+Rp2二V28Z=2V7aNP=Qnt?+PT?=V7a显然MN2+NP2=MP2且NP二丄MP从而可知，猜想：ZMNP=90°,2ZNPM=60°,ZW=30°,是正确的。但猜想毕竟不是求解，那么如何求解呢？既然△MNP为特殊的直角形，JCLZMNP二90。,ZMPN=60°,ZNMP=30°那么：NP=-MP2下证:NP二丄MP2直接求解是很困难的，不如另找一条线段，使NP为这条线段的一半，取BC中点F,连结EF,则NP二

3、丄MP（见图1）2所以只需证明MP=EF即可。如何找MP=EF?找含MP、EF所在的三角形全等含MP的三角形图中没有，需要连结，连那条线呢？此题中AABC为核心三角形，首先A、B、C三点，显然连AP最合适，因为AM、AP均为特殊线段，其中AM二丄AD二丄AB,AP为正AACE的高，（而22连B点或C点均没有此类特殊性），找EF为边的三角形如何找？使它与△AMP全等？考虑到AP为AACE的高，可考虑同样找一条高EH,连HF。是否为下证：AAMP竺△HFE略证如下：・・•AP、EH均为等边AACE的

4、高・・・AP=EH且H为AC中点(®3)又TF为BC中点・•・hf==1ab=1ad=am22HF//AB.ZFHC=ZBACZMAP二ZMAB+ZBAC+ZCAP=60°+ZBAC+300=90°+ZBACZFHE二ZFHC+ZCHE二ZBAC+90。.ZMAP=ZFHE由AM=HFZMAP二ZFHEAP二HE可知：△AMP^ZXHFE・•・MP=FE从而NP二丄MP2找到了NP二丄MP,下面找其中的一个角，最简莫过于找ZNPM=60°,略证2如下：AAMP^AHFE・•・ZHEF=ZAP

5、M又TN、P分别为CF、CE中点•••NP//FE・・・ZNPC二ZFEC・•・ZNPM=ZCPA-ZCPN-ZMPA=90°-ZCEF-ZFEH=90°-(ZCEF+ZFEH)=90°-ZCEH=90°-30°=60°•••ZNPM=60°△MNP中，ZNPM=60°,NP=-MP,下面求解ZMNP=90°方法如下：2延长PN到G,使NG=PN,连结MG。△MGP中，GP二2NP二MP,ZMPG二60。AAMGP为等边在角形TN为PG中点ZNMP冷ZGMH0。・・・MN丄GP至此，△MNP的三

6、个内角全部求出。从拿到此题时无从适从到最后的求解答案，有两大步过程非常关键:（图4）第一步，猜想。猜想不是瞎猜,而是建立在一定的感性和理性的基础之上的，需要我们综合分析，大胆设想，也需要我们准确画图，特殊求证。第二步：求解分析，先看求解，此题实际上是三个小问题：问题一:求证：△AMPSZXHFE；问题二：求ZNPM度数；问题三：求证：AMNP+ZNPM=60°NP二丄MN,求证：MN丄NP这在个小题都很容易求解。于是问题转化为如何作辅助线，事实上，根据分析，每一条辅助线的作法都是必然。因此，对于

7、涉猜平面几何的同学们，不要为几何表面现象繁琐而恐惧，事实上，只要审题清楚，细致探索，大胆猜想，是可以将困难问题迎刃而解的。