对一道竞赛题的思考

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1、对一道竞赛题的思考2014年浙江省高中数学竞赛中有这样一道简洁优美的试题：已知为抛物线上的动点，定点的坐标为，以为直径作圆．若圆截直线：所得的弦长为定值，求此弦长和实数的值．题目看似平淡无奇,实质蕴涵丰富，是一道值得研究的好题.1解法研究解法1（代数视角）：设抛物线上的动点则以为直径的圆的方程为，设直线与圆的交点为，由式和直线联立，得所以由以及两点之间的距离公式，得，由于要与无关，故令，得所以弦长为解法2（几何视角）：依题意，可设，的中点为，与以为直径的圆相交于点，的中点为，则，点的坐标为．则以为直径的圆的方程为，，而，故4将代

2、入上式，得，由于要与无关，故令，得所以弦长为解法3（归纳猜想）：先猜后证.假设存在这样的直线，使得以为直径的圆截得的弦长为定值，则当点运动到时，以为直径的圆方程为，由于圆的半径相同，故圆心到直线的距离相等，故，即，亦即此时弦长为因此猜想：当点变化时，存在直线被以为直径的圆截得的弦长为定值.下面给出证明：（仿解法1）设抛物线上的动点则以为直径的圆的方程为，设直线与圆的交点坐标为，由式和直线联立，得，又，所以故所以弦长为（仿解法2）设抛物线上的动点则以为直径的圆的方程为，设直线与圆的交点坐标为，由于圆心到直线的距离为，且，半径，故4

3、所以弦长为2解法评析从赛题的考查目标：“本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.”来分析，无论是解法1的联立方程，韦达定理，还是解法2的平面几何知识的应用都是通性通法，但由于学生“想得到”、“算不出”的原因，解法2的正确率远比解法1高，但是命题人还是给出了类似解法1的，体现解析几何精髓——用方程思想研究几何图形性质的参考答案.但是从学情进行分析，我们发现解法3明显更受学生欢迎，原因是“先定性，后定量”，计算强度明显减弱.这正是华罗庚教授的退步解题法告诉我们的

4、：复杂的问题要善于“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍.圆锥曲线中的定点、定值、定直线存在性探索性问题，由于结论的不确定性，使得问题具有探索性和开放性，最能考查考生的探索能力和创新意识，最能甄别不同思维层次的考生，因此倍受命题人的青睐.如何破解？解法3为解决圆锥曲线的“三定”存在性探索题，提供了方向，并且希望能借此对圆锥曲线中“想不到”、“算不出”、“消不掉”这三大困难的突破有所帮助.3赛题溯源我们可以将赛题拓展为如下一般情形：已知为抛物线上的动点，定点的坐标为，以为直径作圆．若圆截直线：所得的弦长为定值，求

5、此弦长和实数的值．解析：先猜后证.假设存在这样的直线，使得以为直径的圆截得的弦长为定值，则当点运动到时，以为直径的圆方程为，由于圆的半径相同，故圆心到直线：的距离相等，故，，当时，得此时弦长为因此猜想：当点变化时，存在直线被以为直径的圆截得的弦长为定值下面给出证明：设抛物线上的动点则以为直径的圆的方程为，设直线与圆的交点坐标为4，由于圆心到直线的距离为，且，半径，故由于为定值，故，此时，这与前面的猜想是一致的，所以弦长为，其中.掌握了上述结论，我们可以很快捷地编制很多试题：如：1.已知为抛物线上的动点，定点的坐标为，以为直径作圆

6、．若圆截轴所得的弦长为定值，则弦长为______.2.已知为抛物线上的动点，定点的坐标为，以为直径作圆．若圆截直线：所得的弦长为定值2，则______.3.在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．（2007年湖北高考理19题）.4解题感悟在问题解决中，教师应注重多视角的寻求解决方案，要重视解题理论的引例、渗透、突显和内化。要注重一题多解才能更好的为一题多

7、用做铺垫。教师在引导学生解答问题时要注重一般思路，即通性通法，所谓通性通法是指解决具有相同性质数学问题所用的通用方法，是数学思想和数学方法在解决问题时的集中体现。教师在课堂教学中，一方面，在面对常规问题时，要训练学生形成相对稳定的解题模式；另一方面，在解决新问题时，要从学生的认知结构和解题能力出发，遵循试题对学生能力考查的意图，突出通性通法在问题解答中的主题性，多角度引导、发现、探究、展示、点评问题的解决途径。面对问题，从不的角度观察、思考，往往会有“横看成岭侧成峰”的感觉，能够获得新的创意。4