2018_2019高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式导学案.docx

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1、3.2　一般形式的柯西不等式学习目标1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题.一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究探究1．如何理解柯西不等式的结构特征？探究2．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1,2,3…，n)，可以吗？名师点拨：1.三维形式的柯西不等式三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯西不等式来理解和推广，这样易于记忆不等式的结构特征，对不等式等号成立的条件加深理解．2

2、．一般形式的柯西不等式定理称为柯西不等式的一般形式，它主要用来证明不等式和解决一些实际应用的最值问题．在使用柯西不等式时需要掌握一些方法技巧，如：巧拆常数，重新安排某些项的次序，适当的拼凑项、添项等，以构造出符合柯西不等式的形式及条件，达到使用柯西不等式证明的目的．对于许多不等式问题，应用柯西不等式来解往往简单快捷，要正确理解柯西不等式，只有掌握了它的结构特征，才能灵活应用.【例1】　已知a，b，c∈R＋，求证：≥9.【变式训练1】　已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1.求证：＋＋≥36.【例2】　设a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝3，求证：＋＋≤3.

3、【变式训练2】　已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．【例3】　已知x1，x2，x3，x4为实数，且x1＋x2＋x3＋x4＝6，x＋x＋x＋x＝12.求证：0≤xi≤3，i＝1,2,3,4.【变式训练3】　设实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，求e的最大值．【例4】　已知a1，a2，…，an都是正实数，且a1＋a2＋…＋an＝1，求证：＋＋…＋＋≥.【变式训练4】　设a1>a2>…>an>an＋1，求证：＋＋…＋＋>0.参考答案探究1．【提示】　归纳类比二维形式、三维形式和一般形式的柯西不

4、等式的结构特征，可知柯西不等式的结构特点为：左边为平方和的积，右边是积的和的平方．探究2．【提示】　不可以．若bi＝0而ai≠0，则k不存在．【例1】【分析】　利用柯西不等式证明其他不等式时，关键是构造两组数，向着柯西不等式的形式转化．本例中对应三维柯西不等式，记a1＝，a2＝，a3＝，b1＝，b2＝，b3＝，而a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证．【证明】　由柯西不等式知左边＝×≥2＝(1＋1＋1)2＝9.∴原不等式成立．【变式训练1】证明　证法一：(利用基本不等式)＋＋＝(x＋y＋z)＋(x＋y＋z)＋(x＋y＋z)＝14＋＋＋≥14＋4＋6＋1

5、2＝36.当且仅当y＝2x，z＝3x，且x＋y＋z＝1，∴x＝，y＝，z＝时等号成立．证法二：(利用柯西不等式)(x＋y＋z)≥2＝(1＋2＋3)2＝36，当且仅当x2＝y2＝z2，即x＝，y＝，z＝时等号成立．【例2】【分析】　利用柯西不等式的向量形式，目标式的左边应是两个向量的数量积．由于变量a，b，c的系数都相等，由整体性可构造向量m＝(，，)，n＝(1,1,1)．利用

6、m·n

7、<

8、m

9、

10、n

11、可得证．【证明】　令m＝(，，)，n＝(1,1,1)，则m·n＝＋＋.而

12、m

13、＝＝＝3.又

14、n

15、＝，由

16、m·n

17、≤

18、m

19、

20、n

21、，得∴＋＋≤3.当且仅当a＝b＝c

22、＝1时，等号成立．【变式训练2】解　方法一：由柯西不等式，得(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)＝3[4(a＋b＋c)＋3]＝21.当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．故＋＋的最大值为.方法二：令m＝(，，)．n＝(1,1,1)，则

23、m

24、＝＝＝，

25、n

26、＝＝.m·n＝＋＋，由

27、m·n

28、≤

29、m

30、

31、n

32、，得＋＋≤.故＋＋的最大值为，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．【例3】【分析】　由于x1，x2，x3，x4的对称性，只需证明一个x，其他可以同理得到．充分利用已知的等式，将x2，x3，x4用x1表示，从而得到只含x1

33、的式子，进一步求解．【证明】　由柯西不等式，得(x2＋x3＋x4)2≤(1＋1＋1)·(x＋x＋x)．由题设条件，得x2＋x3＋x4＝6－x1，x＋x＋x＝12－x.∴(6－x1)2≤3(12－x)．∴4x－12x1≤0.∴0≤x1≤3.同理可证0≤xi≤3.i＝2,3,4.【变式训练3】解　将条件改写为8－e＝a＋b＋c＋d，16－e2＝a2＋b2＋c2＋d2，由柯西不等式，得(a＋b＋c＋d)2≤(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)，将条件代入上式，得(8－e)2≤4(16－e2)．即64－16e＋e2≤64－4e2.即5e2－16e≤0，∴0

34、≤e≤.当且仅当a＝b＝c＝d＝时，e取最大值.【例4】　【证明】