2018_2019学年高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法练习新人教A版.docx

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1、一数学归纳法,　　　　　　　　[学生用书P56])[A　基础达标]1．数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此时k的取值范围是(　　)A．k∈N　　B．k>1，k∈N＋C．k≥1，k∈N＋D．k>2，k∈N＋解析：选C.数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1.2．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于(　　)A．B．＋C．＋D．＋＋解析：选D.因为f(n)＝1＋＋＋…＋，所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，所以f(n＋1)－f(n

2、)＝＋＋.3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应该写成(　　)A．假设当n＝k(k∈N＋)时，xn＋yn能被x＋y整除B．假设当n＝2k(k∈N＋)时，xn＋yn能被x＋y整除C．假设当n＝2k＋1(k∈N＋)时，xn＋yn能被x＋y整除D．假设当n＝2k－1(k∈N＋)时，xn＋yn能被x＋y整除答案：D4．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)(n∈N＋)”时，从n＝k到n＝k＋1，等式左边需要增乘的代数式是(　　)A．2k＋1B．C．2(2k＋1)D．

3、解析：选C.当n＝k时，等式左边为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)；当n＝k＋1时，等式左边为(k＋2)(k＋3)…(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·，即增乘了＝2(2k＋1)．5．在用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋2n＝2n2＋n(n∈N*)的第(ii)步中，假设n＝k时原等式成立，那么在n＝k＋1时需要证明的等式为(　　)A．1＋2＋3＋…＋2k＋2(k＋1)＝2k2＋k＋2(k＋1)2＋(k＋1)B．1＋2＋3＋…＋2k＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1)

4、C．1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2k2＋k＋2(k＋1)2＋(k＋1)D．1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1)解析：选D.因为用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋2n＝2n2＋n时，当n＝1时左边所得的项是1＋2；假设n＝k时，命题成立，1＋2＋3＋…＋2k＝2k2＋k，则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)，所以1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1)．故选D.6．用数学归纳法证明时，设f(k)＝1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝

5、k(k＋1)2，则f(k＋1)＝________．解析：f(k＋1)＝1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2.答案：(k＋1)(k＋2)27．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．解析：因为n＝k时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”，所以n＝k＋1时，为使用归纳假设，应写成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1.答案：1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－18．已知平面上

6、有n(n∈N＋，n≥3)个点，其中任何三点都不共线，过这些点中任意两点作直线，设这样的直线共有f(n)条，则f(3)＝________，f(4)＝________，f(5)＝________，f(n＋1)＝f(n)＋________．解析：当n＝k时，有f(k)条直线．当n＝k＋1时，增加的第k＋1个点与原k个点共连成k条直线，即增加k条直线，所以f(k＋1)＝f(k)＋k.又f(2)＝1，所以f(3)＝3，f(4)＝6，f(5)＝10，f(n＋1)＝f(n)＋n.答案：3　6　10　n9．用数学归纳法证明：1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)

7、(n＋2)＝(n∈N＋)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1×2×3＝6，右边＝＝6，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1×2×3＋2×3×4＋…＋k(k＋1)(k＋2)＝，那么当n＝k＋1时，1×2×3＋2×3×4＋…＋k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)．即当n＝k＋1时等式成立．综合上述(1)(2)得，对一切正整数n，等式都成立．10．证明：凸n边形的对角线的条数为f(n)＝n(n－3)(n≥4，n∈N＋)．证明：(1)当n

8、＝4时，四边形有两条对角线，f(4)＝×4×(4－3)＝2，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥4，n∈N＋)时命题成立，即