一道课本例题的探究拓展与应用.doc

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一道课本例题的探究拓展与应用一、问题的提出人教版普通高中课程标准实验教科书数学(必修5)第50页例2屮，数列｛an｝满足al=l,an=Han-l(n±2),求得an二・nT,在学习中若仅停留在解答完此题的基础上，确实有鼠冃寸光之嫌，若能以该题的解答为引，对该题加以探究与拓展，则有登泰山而小天下之感。笔者将引导学生探究过程摘录如下。二、问题的探究探究一：将数列4卅递推关系式中添加常数可得递推关系an=qan-l+c(n^2)o例1数列｛an｝中,al=H,an二■anT+1(nN2),求｛an｝的通项公式。解：令an+t=H(an-1+t),可得t二-1,从而｛an-1｝是以■为首项，公比为■的等比数列，・・・Em二・+1。探究二：将数列｛an｝递推关系式中添加关于n的一次函数可得递推关系an二qanT+k时c(n^2)o例2数列｛an｝中,al=3,an=・anT+n+l(n$2),求｛an｝的通项公式。解：令an+An+B二■[anT+A(n-1)+B]可得A二-2,B=0,从而｛an-2n｝是以1为首项，公比为■的等比数列，・・・師二・+2n。探究三：将数列｛朗｝递推关系式中添加关于n的指数函数可得，an=qan-l+cn(n^2)o 例3数列｛arj中，al二-■,an=Han-l+H(n22),求｛an｝的通项公式。解：令an+1■=■an-1+t■可得：t二-2。从而｛an+B｝是以■为首项，公比为■的等比数列Aan=■-Bo例4数列｛an｝中，al=H,an=Han-l+H(n22),求｛an｝的通项公式。解：■二・+1，从而■是以1为首项，公差为1的等差数列，・・・幼二n?■o注：例3中qHc可构造为等比数列，例4中q二c只能构造为等差数列。三、问题的拓展通过探究递推关系式的结构特征与解题规律，可引导学生总结出推论。一般地，对于给定递推关系式为：an+1二qan+Aqn+l+tlbln+t2b2n+・・・+tnibnm+pknk+pk-InkT+・・・+pln+pO(q?bl?b2・・・bmH0,A,tl,12-trn,pk-pO为常数)的数列。当qHl可递推关系式构造为特殊数列来求em,即■二・+A。将上式展开变形为与给定递推结构相同的形式，比较bin、n的同次项的系数，解方程组可得xi、yi的值。特殊情况,当q二1时，递推式变为an=an-l+f(n)(n±2)。可用累加法求an,即an二(an-an-1)+(an-l-an-2)+・・•+(a2~al)+al,.an=Hf(i)+alo回归探究可知，探究仅是推论中A、ti、pi某些常数为零的特例。 四、结论的应用例5数列｛an｝中,al=6,an+l=2an+2n+l+3n+2X4n+n2-n-l,(nWN*),求｛an｝的通项公式。解：令・二・+1。可得xl=-l,x2二T,y3=l,y2二1,yl=l0・・・■是以1为首项，公差为1的等差数列。从而■二n,/.an=n2n+3n+4n-n2-n-l。这类问题研究完了，学生的情绪也达到了高潮，也充分体验了研究过程和成功带來的喜悦，学习信心、兴趣倍增。总之，在平时的教学中，多从教材的例题、习题、练习题、复习题及公式推导过程去引导学生去探究发现，对学牛创新能力培养是大有好处的，这也是为了学生终身学习应该坚持的一条原则。(作者单位：湖南省江华县第二中学)