资源描述：
《求函数值域的几种常见方法详解.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、求函数值域的几种常见方法1．直接法：利用常见函数的值域来求。一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为{x
2、x0}，值域为{y
3、y0}；二次函数的定义域为R，当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.例1．求下列函数的值域①y=3x+2(-1x1)②③解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②∵∴即函数的值域是{y
4、y2}③∵∴即函数的值域是{y
5、yÎR且y¹1}（此法亦称分离常数法）（思考：如何使用口算法？）2．二次函数在给定区间上的值域(最值)。例2．求下列函数的最大值、最小值与值域：①；
6、②；③；④；解：①∵抛物线的开口向上，对称轴，函数的定义域R，∴x=2时，ymin=-3,∴函数的值域是{y
7、y-3}.②∵抛物线的开口向上，对称轴[3,4]，此时在[3,4]∴当x=3时，=-2当x=4时，=1∴值域为[-2，1].③∵抛物线的开口向上，对称轴[0,1]，此时在[0,1]∴当x=0时，=1当x=1时，=-2∴值域为[-2，1].④∵抛物线的开口向上，对称轴[0,5]，∴当x=2时，=-3当x=5时，=6（思考：为什么这里直接就说当x=5时，=6，而不去考虑x=0对应的函数值情况？答：因为观察图像可知x=5离对称轴较远，其函数值比x=0对应的函数值大）∴
8、值域为[-3，6].注：对于二次函数,⑴若定义域为R时，①当a>0时，则当时，其最小值；②当a<0时，则当时，其最大值.⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其对称轴是否属于区间[a,b].①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.3．有解判别法：有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二
9、次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例3．求函数y=值域解：原式可化为,整理得，若y=1,即2x=0,则x=0；若y1,由题0，即,解得且y1.综上：值域{y
10、}.例4．求函数的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？）解：把已知函数化为(x¹2且x¹-3)由此可得y¹1∵x=2时∴∴函数的值域为{y
11、y¹1且y¹}说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称有解判别法.一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式并且分子、分母，没有公因式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.4．换元法例5．求函数的值域解：设则t0x=1-代入
12、得开口向下，对称轴∴时，∴值域为5．分段函数例6．求函数y=
13、x+1
14、+
15、x-2
16、的值域.解：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y
17、y3}.说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.★练习：1、答案：值域是.2、求函数的值域①；②答案：值域是（-，].答案：值域是小结:求函数值域的基本方法（直接法、换
18、元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.
