图形学课件 第五章 二维变换与裁剪.ppt

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1、第五章二维变换与裁剪齐次坐标二维几何变换矩阵Cohen-Sutherland直线段裁剪算法本章学习目标5.1图形几何变换基础5.2二维图形基本几何变换矩阵5.3二维复合变换5.4二维图形裁剪5.5Cohen-Sutherland直线裁剪算法本章小结本章内容5.1图形几何变换基础通过对图形进行几何变换，可以由简单图形构造复杂图形。图形几何变换是对图形进行平移变换、比例变换、旋转变换、反射变换和错切变换。图形几何变换可以分为二维图形几何变换和三维图形几何变换，而二维图形几何变换是三维图形几何变换的基础。（a）地砖1（b）地砖2图5

2、-1地板砖类二维场景二维几何变换示例齐次坐标就是用n＋1维矢量表示n维矢量。例如，在二维平面中，点P(x,y)的齐次坐标表示为(wx,wy,w)。类似地，在三维空间中，点P(x,y,z)的齐次坐标表示为（wx,wy,wz,w）。w＝1就是规范化的齐次坐标。二维点P(x，y)的规范化齐次坐标为〔x，y，1〕，三维点P(x，y，z)的规范化齐次坐标为(x，y，z，1)。定义了规范化齐次坐标以后，图形几何变换可以表示为图形顶点集合的规范化齐次坐标矩阵与某一变换矩阵相乘的形式。5.1.1规范化齐次坐标对于n×3的矩阵A和3×3的矩阵B

3、，矩阵相乘公式为：5.1.2矩阵相乘（5-1）由线性代数知道，矩阵乘法不满足交换律，只有左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才可以相乘。用规范化齐次坐标表示的二维基本几何变换矩阵是一个3×3的方阵，简称为二维变换矩阵。从功能上可以把二维变换矩阵T分为4个子矩阵。其中（5-2）5.1.3二维几何变换矩阵对图形进行平移变换；对图形进行投影变换；对图形进行整体比例变换。对图形进行比例、旋转、反射和错切变换；5.1.4物体变换与坐标变换同一种变换可以看作是物体变换，也可以看作是坐标变换。物体变换是使用同一变换矩阵作用于物体上的所有

4、顶点，但坐标系位置不发生改变。坐标变换是坐标系发生变换，但物体位置不发生改变，然后在新坐标系下表示物体上的所有顶点。这两种变换紧密联系，各有各的优点，只是变换矩阵略有差异而已，以下主要介绍物体变换。5.1.5二维几何变换（5-3）5.2二维图形基本几何变换矩阵二维图形基本几何变换是指相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换，包括平移（Translate）、比例（Scale）、旋转（Rotate）、反射（Reflect）和错切（shear）5种变换。物体变换物体变换是通过变换物体上每一个顶点实现的，因此以点的二维基本几何变换为例讲解

5、二维图形基本几何变换矩阵。5.2.1平移变换矩阵P’P平移变换（5-4）TyTxTx，Ty为平移参数5.2.2比例变换矩阵SxSyPP’比例变换Sx，Sy为比例系数（5-5）5.2.3旋转变换矩阵rβPP’旋转变换α为点的起始角，β为点的逆时针方向旋转角（5-6）α5.2.4反射变换矩阵P’（a）关于原点反射（b）关于x轴反射（c）关于y轴反射反射变换关于原点反射的坐标表示为。相应的齐次坐标矩阵表示为关于原点的二维反射变换矩阵为（5-7）关于x轴的二维反射变换矩阵为（5-8）关于y轴的二维反射变换矩阵为（5-9）5.2.5错切

6、变换矩阵（a）正方形（b）沿x正向错切（c）沿x负向错切（d）沿y正向错切（e）沿y负向错切（f）沿x和y正向错切错切变换沿x，y方向的错切变换的坐标表示为。相应的齐次坐标矩阵表示为因此，沿x，y两个方向的二维错切变换矩阵为其中b、c为错切参数（5-10）元素大多为零，如果c和b不为零，则意味着对图形进行错切变换。令b＝0可以得到沿x方向的错切变换，c>0是沿x正向的错切变换，c<0是沿x负向的错切变换。令c＝0可以得到沿y方向的错切变换，b>0是沿y正向的错切变换，b<0是沿y负向的错切变换。在前面的变换中，子矩阵的非对角线

7、上面讨论的五种变换给出的都是点变换的公式，对于线框模型，图形的变换实际上都可以通过点变换来完成。例如直线段的变换可以通过对两个顶点坐标进行变换，连接新顶点得到变换后的新直线段；多边形的变换可以通过对每个顶点进行变换，连接新顶点得到变换后的新多边形。曲线的变换可通过变换控制多边形的控制点后，重新绘制曲线来实现。符合下面形式的坐标变换称为二维仿射变换（AffineTransformation）。（5-11）仿射变换具有平行线变换成平行线，有限点映射到有限点的一般特性。平移、比例、旋转、反射和错切五种变换都是二维仿射变换的特例，任何

8、一组二维仿射变换总可表示为这5种变换的组合。5.3二维复合变换5.3.1复合变换原理5.3.2相对于任一参考点的二维几何变换相对于任一参考点的比例变换和旋转变换应表达为复合变换形式，变换方法为首先将参考点平移到坐标原点，对坐标原点进行比例变换和旋转变换，然后再进行反平移将参考