计算机图形学二维图形变换与裁剪

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1、跨入计算机殿堂的入门篇计算机图形学施智平shizhiping@gmail.com图形变换2观察与思考零件三视图3观察与思考三视图投影示意图4图形变换从不同角度观察物体，会看到不同的形状形状的变化可以通过图形变换来实现图形变换是计算机图形学的基础内容之一通过图形变换可由简单图形生成复杂图形可用二维图形表示三维形体可对静态图形经过快速变换而获得图形的动态显示效果5第3章二维变换和裁剪基本几何变换与基本概念图形几何变换的数学基础二维图形几何变换的计算复合变换变换的性质6变换的分类投影变换（二维表示三维）正投影（三视图）轴测投影透视投影9图形与矢量点的表示：二维图形中的点

2、可以用坐标（x,y）来表示，也可以用矢量[x,y]来表示。二维行矢量[xy]三维行矢量[xyz]二维列矢量三维列矢量图形的表示用nx2或nx3矩阵来表示二维或三维图形上所有n个点。二维空间上三维空间上的所有点的所有点10数学基础1设有两个矢量矢量和11数学基础(2)矢量的数乘矢量的点积性质12数学基础(3)矩阵单位矩阵矩阵的加法矩阵的数乘13数学基础(4)矩阵的乘法性质：A(B·C)=(A·B)C14点坐标的变换点坐标：新坐标：变换：矩阵表示：变换矩阵：注意：x’项中有x和y分量，y’项中也有x和y分量，这意味着x，y共同对新矩阵P’产生作用。15P=[xy]单位

3、矩阵单位矩阵：由上式可见变换前后的坐标不变，因此图形也不变，这是恒等变换。图形变换子程序中有：[]×T，当T改变时，则变换的结果也发生改变。绘图软件中常把变换矩阵的初始值设为单位矩阵。16基本几何变换——平移变换平移将P点从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程。17图平移变换基本几何变换——平移变换推导：18Tx，Ty称为平移矢量。矩阵形式：基本几何变换——比例变换比例变换是指对P点相对于坐标原点沿x方向放缩Sx倍，沿y方向放缩Sy倍。其中Sx和Sy称为比例系数。19比例变换(Sx=2,Sy=3)以坐标原点为缩放参照点不仅改变了物体的大小和形状，也改变了位

4、置(离原点的距离)20基本几何变换——比例变换图比例变换原图原图基本几何变换——比例变换推导：21矩阵形式：基本几何变换——旋转变换二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度（逆时针为正，顺时针为负）得到新的点p’的重定位过程。22图旋转变换基本几何变换——旋转变换推导:极坐标:逆时针旋转θ角x'=rcos(α+θ)=rcosαcosθ-rsinαsinθ=xcosθ-ysinθ23矩阵：y'=rsin(α+θ)=rcosαsinθ+rsinαcosθ=xsinθ+ycosθ24矩阵表示的问题发现问题：平移变换:的运算为加法，比例变换:的运算为乘法.旋转变换:的运算

5、为乘法.复合变换：T=T1·T2·T3·T4·T5的运算为乘法.分析问题：不同的变换使用乘法和加法等不同算法，不利于程序的统一调用如果能够将多种算法统一成一种算法，则编程变得方便解决问题：采用齐次坐标技术可以使所有变换全都使用乘法25齐次坐标技术齐次坐标表示法由n+1维向量表示一个n维向量采用齐次坐标技术，图形变换转换为矩阵相乘这一单一问题从而可以借助计算机高速计算功能，快速得到变换后的图形。为高度动态的计算机图形显示提供了可能性。齐次坐标表示法的优点便于变换合成便于硬件实现26齐次坐标表示就是用n+1维向量表示一个n维向量不同的h值对应二维坐标上相同的点只有h=

6、1时，点的齐次坐标x,y才与二维坐标的x,y值相等规范化齐次坐标表示就是h=1的齐次坐标表示规范化齐次坐标27齐次坐标表示的实现给二维点增加一维，给变换矩阵增加一列变换后的点也增加一列结果：平移变换也可使用矩阵乘法来进行计算28平移：规范化齐次坐标——平移变换矩阵29比例:规范化齐次坐标——比例变换矩阵30整体比例变换：规范化齐次坐标——整体比例变换31旋转变换：规范化齐次坐标——旋转变换矩阵32基本几何变换——二维变换矩阵33对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。基本几何变换——对称变换34基本几何变换——对称变换35(1)关于x轴对称基本几何变换—

7、—对称变换图关于x轴对称36(2)关于y轴对称基本几何变换——对称变换37(3)关于原点对称基本几何变换——对称变换38(4)关于y=x轴对称基本几何变换——对称变换39(5)关于y=-x轴对称基本几何变换——对称变换40错切变换，也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变形处理。基本几何变换——错切变换图错切变换41基本几何变换——错切变换推导1.x方向错切（b=0,c≠0）分析：1）图形各点的y坐标不变。（高度不变）2）x’为x和y的函数。3）c>0，则图形沿+x方向错切，c<0，则图形沿-x方向错切42基本几何变换——错切变换2.y方向错切（b≠0,c=0）

8、分析：1）