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《解线性方程组的迭代法.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、求解思路与解f(x)=0的不动点迭代相似……，将等价改写为形式，建立迭代 。从初值出发，得到序列。计算精度可控，特别适用于求解系数为大型稀疏矩阵的方程组。研究内容：如何建立迭代格式？收敛速度？向量序列的收敛条件？误差估计？第4章解线性方程组的迭代法——为了误差的度量（正定性)(齐次性)向量范数定义4-1Rn空间的向量范数
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3、·
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5、对任意满足下列条件：对任意（三角不等式)向量范数的定义向量的Lp范数定义为§1向量和矩阵范数==niixx11
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11、v==niixx122
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15、
16、
17、v
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19、max
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24、1inixx=v注：例：计算的三种范数解：常用向量范数：向量序列收敛于向量是指对每一个1in都有。定义4-3可以理解为若存在常数C>0使得对任意有,则称范数
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27、
28、A比范数
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32、B强。定义4-4若范数
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35、
36、A比
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40、B强，同时
41、
42、·
43、
44、B也比
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48、A强，即存在常数C1、C2>0使得，则称
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52、A和
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54、·
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56、B等价。定义4-5定理Rn上一切范数都等价。可以理解为对任何向量范数都成立。定义4-5Rmn空间的矩阵范数
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58、·
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60、对任意满足：（正定性)对任意(齐次性)（三角不等式)(4)
61、*
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63、AB
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66、
67、A
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70、
71、B
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73、（相容当m=n时)（行和范数）（列和范数）（谱范数）矩阵ATA的最大特征根常用矩阵范数：矩阵范数—向量
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77、2的直接推广对方阵以及有利用Cauchy不等式可证。解：例：计算的三种范数Frobenius范数矩阵A的谱半径记为(A)=，其中i为A的特征根。定义4-9ReIm(A)定理4-1对任意算子范数
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80、
81、有证明：由算子范数的相容性，得到将任意一个特征根所对应的特征向量代入谱半径此时方程的解为：§2线性方程组的误差分析例：计算方程组的解为由于某
82、种原因，第二个方程的系数有了一个小小的扰动（误差），变为：求解时，A和的误差对解有何影响？设A精确，有误差 ，得到的解为，即绝对误差放大因子又相对误差放大因子设精确，A有误差 ，得到的解为，即(只要A充分小，使得是关键的误差放大因子，称为A的条件数，记为cond(A),越则A越病态，难得准确解。大条件数注:cond(A)的具体大小与
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86、的取法有关，但相对大小一致。cond(A)取决于A，与解题方法无关。常用条件数有：cond(A)1cond(A)cond(A)2特别地，若A对称，则条件数的性质：
87、A可逆，则cond(A)p1；A可逆，R则cond(A)=cond(A)；A正交，则cond(A)2=1；A可逆，R正交，则cond(RA)2=cond(AR)2=cond(A)2。例：Hilbert阵cond(H2)=27cond(H3)748cond(H6)=2.9106cond(Hn)asn注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A1，而由经验得出。行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）；元素间相差大数量级，且无规则；主元消去过程中出现小主元；特征值相差大数量级。精确
88、解为例：计算cond(A)2。A1=解：考察A的特征根39206>>1测试病态程度：给 一个扰动，其相对误差为此时精确解为2.0102>200%所以A是坏条件的设 的近似解为 ，则一般有cond(A)误差上限改善方法：Step1:近似解Step2:Step3:Step4:若 可被精确解出，则有就是精确解了。经验表明：若A不是非常病态（例如：），则如此迭代可达到机器精度；但若A病态，则此算法也不能改进。近似解的误差估计及改善：Jacobi法§3Jacobi法和Gauss-Seidel法写成矩阵形式：A=L
89、UDBJacobi迭代阵因此得到雅可比迭代公式为：解：方程组的迭代格式为或例：用雅可比方法解下列方程组x(0)=(1,1,1)T取初始值x(0)=(1,1,1)T，计算结果如下表k01111-1.51.60.92.52-1.252.081.090.483-0.9152.0681.0170.3354-0.95751.98640.98470.08165-1.014451.988440.997110.056956-1.007222.002311.00260.013877-0.9975432.001971.000490.0
90、09687…………写成矩阵形式：BGauss-Seidel迭代法解：方程组的迭代格式为例：用高斯-赛德尔法解下列方程组取初始值x(0)=(1,1,1)T，计算结果如下表kx1x2x3
91、
92、x(k)-x(k+1)
93、
94、01111-1.52.11.042.52-0.931.9940.99360.573-1.00621.999961.0006240.07624-0.
