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1、等差数列1．等差数列的定义：－＝d（d为常数）．2．等差数列的通项公式：⑴an＝a1＋×d⑵an＝am＋×d3．等差数列的前n项和公式：Sn＝＝．4．等差中项：如果a、b、c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，即b＝．5．数列{an}是等差数列的两个充要条件是：⑴数列{an}的通项公式可写成an＝pn＋q(p,q∈R)⑵数列{an}的前n项和公式可写成Sn＝an2＋bn(a,b∈R)6．等差数列{an}的两个重要性质：⑴m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，则．⑵数列{an}的前n项和为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成数列．第3课时等比数列1．等比数列的
2、定义：＝q（q为不等于零的常数）．2．等比数列的通项公式：⑴an＝a1qn－1⑵an＝amqn－m3．等比数列的前n项和公式：Sn＝4．等比中项：如果a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即b2＝或b＝(）．5．等比数列{an}的几个重要性质：⑴m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则．⑵Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成数列．⑶若等比数列{an}的前n项和Sn满足{Sn}是等差数列，则{an}的公比q＝．数列通项公式的几种方法一、观察法即归纳推理，一般用于解决选择、填空题。过程：观察→概括、推广→猜
3、出一般性结论。例1、数列的前四项为：11、102、1003、10004、……，则_____。分析：即二、公式法，即已知数列前n项和，求通项。例2、已知数列前n项和满足：，求此数列的通项公式。解：当时，当时，所以：三、递推公式1、累差法递推式为：an+1=an+f(n)(f(n)可求和)思路：:令n=1,2,…,n-1可得a2-a1=f(1)a3-a2=f(2)a4-a3=f(3)……an-an-1=f(n-1)将这个式子累加起来可得an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)∵f(n)可求和∴an=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)当然我们还要验证当
4、n=1时,a1是否满足上式可能要用到的一些公式：例3、已知数列{a}中,a1=1,an+1=an+2,求an解：令n=1,2,…,n-1可得a2-a1=2a3-a2=22a4-a3=23……an-an-1=2n-1将这个式子累加起来可得an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)∵f(n)可求和∴an=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)当n=1时,a1适合上式故an=2n-12、累商法递推式为：an+1=f(n)an（f(n)要可求积）思路：令n=1,2,…,n-1可得a2/a1=f(1)a3/a2=f(2)a4/a3=f(3)……an/an-1=f
5、(n-1) 将这个式子相乘可得an/a1=f(1)f(2)…f(n-1)∵f(n)可求积∴an=a1f(1)f(2)…f(n-1) 当然我们还要验证当n=1时，a1是否适合上式例4、在数列{an}中,a1=2,an+1=(n+1)an/n,求an解：令n=1,2,…,n-1可得 a2/a1=f(1)a3/a2=f(2)a4/a3=f(3)……an/an-1=f(n-1)将这个式子相乘后可得an/a1=2/1×3/24×/3×…×n/(n-1)即an=2n当n=1时，an也适合上式∴an=2n3、构造法（1）、递推关系式为an+1=pan+q(p,q为常数)思路
6、：设递推式可化为an+1+x=p(an+x),得an+1=pan+(p-1)x,解得x=q/(p-1)故可将递推式化为an+1+x=p(an+x)构造数列{bn},bn=an+q/(p-1)bn+1=pbn即bn+1/bn=p,{bn}为等比数列.故可求出bn=f(n)再将bn=an+q/(p-1)代入即可得an例5、数列{an}中,对于n>1(n€N)有an=2an-1+3,求an解：设递推式可化为an+x=2(an-1+x),得an=2an-1+x,解得x=3故可将递推式化为an+3=2(an-1+3)构造数列{bn},bn=an+3bn=2bn-1即bn/
7、bn-1=2,{bn}为等比数列且公比为3bn=bn-1·3,bn=an+3bn=4×3n-1an+3=4×3n-1,an=4×3n-1-1（2）、递推式为an+1=pan+qn(p,q为常数)思路：在an+1=pan+qn两边同时除以qn+1得 an+1/qn+1=p/qan/qn+i/q构造数列{bn},bn=an/qn可得bn+1=p/qbn+1/q故可利用上类型的解法得到bn=f(n)再将代入上式即可得an例6、数列{an}中,a1+5/6,an+1=(1/3)an+(1/2)n,求an解：在an+1=(1/3)an+(1/2)n两边同时除以(1/2)n
8、+1得 2n+1an+1
