2014届高考数学人教A版(理)一轮复习第八篇第6讲空间向量及其运算.ppt

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1、第6讲　空间向量及其运算【2014年高考会这样考】1．考查空间向量的线性运算、数量积和空间向量基本定理及其意义．2．利用向量的数量积判断两空间向量的平行与垂直关系．考点梳理(1)空间向量：在空间中，具有_____和_____的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向_____且模_____的向量．(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相___________的向量．(4)共面向量：_________________的向量．1．空间向量的有关概念大小方向相同相等平行或重合平行于同一个平面(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在

2、实数λ，使得__________.2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理a＝λb(1－t)txa＋yb1xa＋yb＋zcb＋aa＋(b＋c)λa＋λb0≤〈a，b〉≤π互相垂直a·b〈a，b〉

3、a

4、

5、b

6、·cos〈a，b〉a·b＝

7、a

8、

9、b

10、·cos〈a，b〉λ(a·b)b·aa·b＋a·c一种方法用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是：(1)适当的选取基底{a，b，c}；(2)用a，b，c表示相关向量；(3)通过运算完成证明或计算问题．【助学·微博】A．空间中有无数多组不共面的向量可作为向量的基底B．向量与平面平行，则向量所在的直线与平面平行C．平面α的法向量

11、垂直于α内的每个向量D．空间中的任一非零向量都可唯一地表示成空间中不共面向量的线性组合的形式解析若向量与平面平行，则向量所在的直线与平面平行或在平面内．答案B考点自测1．下列有关空间向量的四个命题中，错误命题为()．其中不正确命题的个数是()．A．1B．2C．3D．4解析①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当a、b同向时，应有

12、a

13、＋

14、b

15、＝

16、a＋b

17、；③中a、b所在直线可能重合；④中需满足x＋y＋z＝1，才有P、A、B、C四点共面．答案C答案CA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．a＝λb(λ是实数)是a与b共线的()．答案A

18、考向一　空间向量的线性运算[审题视点]根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可求解．用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．考向二　共线、共面向量定理的应用【例2】►已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平

19、行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解，若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性a＝λb关系，即可断定两直线平行．【例3】►已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.考向三　空间向量数量积的应用1.当题目条件有垂直关系时，常转化为向量数量积为零进行求解；(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．【训练3】(2013·杭州模拟)直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、

20、BB′的中点．【命题研究】通过分析近三年的高考题可以看出，运用空间向量的数量积与坐标运算来解决立体几何问题仍是高考考查的重点和热点．一般情况下与立体几何中证明空间中的位置关系，求空间角及距离一起考查，多为解答题，若单独命题，一般考查空间向量基本定理、线性运算、数量积运算、坐标运算，多以选择题、填空题的形式出现．方法优化11——客观题中空间向量的应用【真题探究】►(2012·陕西)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()．[答案]A【试一试】(2013·琼海一模)如图，在正方体ABCD－

21、A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件________时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件________时，就有MN∥平面B1D1C.答案点N在EG上　点N在EH上