第八篇 第6讲 空间向量及其运算

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1、第6讲空间向量及其运算A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c，共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．0B．1C．2D．3解析　a与b共线，a，b所在直线

2、也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.答案　A2．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝(　　)．A．－4B．－2C．4D．2解析　∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴

3、c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.答案　D3．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．{a，a＋b，a－b}B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b}D．{a＋b，a－b，a＋2b}解析　若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c

4、，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．答案　C4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　)．A．0　　　　B.C.　　　　D.解析　设＝a，＝b，＝c，由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且

5、b

6、＝

7、c

8、，·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝

9、a

10、

11、c

12、－

13、a

14、

15、b

16、＝0，∴cos〈，〉＝0.答案　A二、填空题(每小题5分，共10分)5．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是________．①＝2－－；②＝＋＋；③＋＋＝0；④＋＋＋＝0；

17、解析　∵＋＋＝0，∴＝－－，则、、为共面向量，即M、A、B、C四点共面．答案　③6.在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝________.解析　如图，设＝a，＝b，＝c，·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝0.答案　0三、解答题(共25分)7．(12分)已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．(1)判断、、三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．解　(1)由已知＋＋＝3，∴－＝(－)＋(－)，即＝＋＝－－，∴，，共面．(2)由(1)知，

18、，，共面且基线过同一点M，∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内．8．(13分)如右图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，(1)试证：A1、G、C三点共线；(2)试证：A1C⊥平面BC1D；(3)求点C到平面BC1D的距离．(1)证明　＝＋＋＝＋＋，可以证明：＝(＋＋)＝，∴∥，即A1、G、C三点共线．(2)证明　设＝a，＝b，＝c，则

19、a

20、＝

21、b

22、＝

23、c

24、＝a，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∵＝a＋b＋c，＝c－a，∴·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2

25、＝0，∴⊥，即CA1⊥BC1，同理可证：CA1⊥BD，因此A1C⊥平面BC1D.(3)解　∵＝a＋b＋c，∴2＝a2＋b2＋c2＝3a2，即

26、

27、＝a，因此

28、

29、＝a.即C到平面BC1D的距离为a.B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·海淀月考)以下四个命题中正确的是(　　)．A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝

30、0D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析　若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b＋c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾．答案　B2．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)．A